Bài tập 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 vectơ →a=(1;2;3);→b=(0;−1;1);→c=(1;5;2).
a) Tìm tọa độ các vectơ →u=→a+→b−→c và →v=2→a+3→b+→c. b) Tính →a.→b;→b.→c và →a.→c . c) Tính cos(→a;→b) và cos(→b;→c). |
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: →u=(1;2;3)+(0;−1;1)−(1;5;2)=(0;−4;2)
→v=2(1;2;3)+3(0;−1;1)+(1;5;2)=(2;4;6)+(0;−3;3)+(1;5;2)=(3;6;11).
b) Ta có: →a.→b=0−2+3=1;→b.→c=−3;→a.→c=17.
c) cos(→a;→b)=→a.→b|→a|.|→b|=1√1+4+9.√0+1+1=12√7;cos(→b;→c)=→b.→c|→b|.|→c|=−3√2.√30=−32√15.
Bài tập 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(0;1;−2);B(2;1;0);C(1;4;5).
a) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC. b) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. c) Tính cosin góc ^ABC. d) Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho MB=MC. |
Lời giải chi tiết:
a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có: {xG=xA+xB+xC3=1yG=yA+yB+yC3=2zG=zA+zB+zC3=1⇒G(1;2;1).
b) Để ABCD là hình bình hành thì →AB=→DC⇔(2;0;2)=(1−xD;4−yD;5−zD)⇒D(−1;4;3).
c) Ta có: →BA=(−2;0;−2);→BC=(−1;3;5)
Suy ra cos^ABC=cos(→BA;→BC)=→BA.→BCBA.BC=2−10√4+4.√1+9+25=−4√70.
d) Do điểm M∈Ox nên ta gọi M(x;0;0) ta có MB=MC⇔MB2=MC2.
⇔(x−2)2+12+02=(x−1)2+42+52⇔x2−4x+5=x2−2x+42⇔x=−372.
Vậy M(−372;0;0).
Bài tập 3: Trong không gian Oxyz cho →a=(2;−5;3);→b=(0;2;−1);→c=(1;7;2);→d=(0;−17;−2)
a) Tìm →u=→a−4→b−2→c. b) Tìm m; n; p biết rằng →d=m.→a+n.→b+p.→c. |
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: →u=(2;−5;3)−4(0;2;−1)−2(1;7;2)=(2;−5;3)−(0;8;−4)−(2;14;4)=(0;−27;3).
b) Ta có: →d=m.→a+n.→b+p.→c⇔(0;−17;−2)=m(2;−5;3)+n(0;2;−1)+p(1;7;2).
⇔{2m+p=0−5m+2n+7p=−173m−n+2p=−2⇔{m=1n=1p=−2.
Bài tập 4: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 vectơ →u=(x;2x−3;2) và →v=(y;−4;8). Tìm x và y để →u và →v cùng phương. |
Lời giải chi tiết:
Để →u và →v cùng phương thì →u=k.→v⇔(x;2x−3;2)=k(y;−4;8)
⇔{x=ky2x−3=−4k2=8k⇔{x=14y2x−3=−1k=14⇔{k=14x=1y=4.
Vậy x=1;y=4.
Bài tập 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(2;5;3);B(3;7;4);C(x;y;6), tìm x, y để A, B, C thẳng hàng. |
Lời giải chi tiết:
Ta có: →AB=(1;2;1);→AC=(x−2;y−5;3).
Để A, B, C thẳng hàng thì →AC=k.→AB⇔{x−2=ky−5=2k3=k⇔{k=3x=5y=11
Vậy x=5;y=11.
Bài tập 6: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 vectơ →a=(1;log35;m) và →b=(3;log53;4). Tìm m để →a⊥→b. |
Lời giải chi tiết:
Để →a⊥→b⇔→a.→b=0⇔3+log35.log53+4m=0⇔3+1+4m=0⇔m=−1.
Bài tập 7: Trong không gian tọa độ Oxyz cho vectơ →a=(2√2;−1;4).
a) Tìm vectơ →b cùng phương với →a, biết rằng |→b|=10. b) Tìm vectơ →c cùng phương với →a, biết rằng →a.→c=100. |
Lời giải chi tiết:
a) Vì →b cùng phương với →a nên →b=k.→a=(2√2.k;−k;4k)
Lại có: |→b|=10⇔√(2k√2)2+(−k)2+16k2=√25k2=10⇔k2=4⇔k=±2.
Do đó →b=2→a=(4√2;−2;8) hoặc →b=−2.→a=(−4√2;2;−8)
b) Vì →c cùng phương với →a nên →c=k.→a=(2√2.k;−k;4k)
Khi đó →a.→c=8k+k+16k=25k=100⇔k=4⇒→c=(8√2;−4;16).
Bài tập 8: Trong không gian tọa độ với hệ trục Oxyz, cho hai vectơ →a và →b sao cho (→a;→b)=120∘, biết |→a|=2;|→b|=3. Tính |→a+→b| và |→a−2→b|. |
Lời giải chi tiết:
Ta có: |→a+→b|2=(→a+→b)2=|→a|2+2→a.→b+|→b|2=4+2|→a|.|→b|cos120∘+9=13+12cos120∘=7
Do đó |→a+→b|=√7.
Lại có: |→a−→b|2=(→a−2→b)2=|→a|2−4→a.→b+4|→b|2=4−4|→a|.|→b|cos120∘+4.9=40−24cos120∘=52.
Do đó: |→a−2→b|=√52
Bài tập 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ →u=→i+(m+1)→j+2→k. Tìm giá trị m để |→u|=√6. Khi đó giá trị m bằng:
A. [m=0m=−2. B. m=0. C. m=1. D. m=−2. |
Lời giải chi tiết:
Ta có: →u=(1;m+1;2) suy ra |→u|=√12+(m+1)2+22=√6⇔(m+1)2=1⇔[m=0m=−2. Chọn A.
Bài tập 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với trọng tâm G. Biết A(1;−1;−2),B(2;1;−3),G(1;−2;−3). Khi đó tọa độ điểm C là :
A. (43;−23;−83) B. (0;−6;−4) C. (4;−2;−8) D. (−1;−4;−1) |
Lời giải chi tiết:
Giả sử C(xC;yC;zC). Khi đó: {xC=3.1−1−2=0yC=3.(−2)+1−1=−6zC=3.(−3)+2+3=−4⇒C(0;−6;−4). Chọn B.
Bài tập 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho →a=(2;−1;10) , biết →b cùng chiều với →a và có |→a.→b|=10. Chọn phương án đúng
A. →b=(−6;3;0). B. →b=(−4;2;0). C. →b=(6;−3;0). D. →b=(4;−2;0). |
Lời giải chi tiết:
Ta có: →b=k.→a=(2k;−k;0)(k>0)⇒|→a.→b|=|4k+k|=10⇔[k=2k=−2(L)⇒→b=(4;−2;0). Chọn D.
Bài tập 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;2;−1);B(2;−1;3);C(−3;5;1). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
A. D(−4;8;−3). B. D(−2;2;5). C. D(−2;8;−3). D. D(−4;8;−5). |
Lời giải chi tiết:
Vì ABCD là hình bình hành nên →AB=→DC⇔(1;−3;4)=(−3−xD;5−yD;1−zD).
⇒D(−4;8;−3). Chọn A.
Bài tập 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ →a=(2;−1;0);→b=(1;2;3);→c=(4;2;−1) và các mệnh đề sau:
(1) →a⊥→b (2) →b.→c=5. (3) →a cùng phương với →c. (4) |→b|=√14. Trong bốn mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 2. B. 4. C. 3. D. 1. |
Lời giải chi tiết:
Ta có →a.→b=2−2+0=0⇒→a⊥→b(1) đúng.
+) →b.→c=4+4−3=5⇒(2) đúng.
+) 24≠−12⇒→a không cùng phương với →c(3) sai.
+) |→b|=√12+22+32=√14⇒(4) đúng. Chọn C.
Bài tập 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;1;1),B(−1;2;3). Tìm tọa độ điểm M sao cho →AM=2→BM.
A. M(12;32;2). B. M(1;3;4). C. M(−4;3;5). D. M(5;0;−1). |
Lời giải chi tiết:
Giả sử M(a;b;c). Ta có: →AM=2→BM⇔(a−2;b−1;c−1)=2(a+1;b−2;c−3)
⇔{a−2=2(a+1)b−1=2(b−2)c−1=2(c−3)⇔{a=−4b=3c=5⇒M(−4;3;5). Chọn C.
Bài tập 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm M(−1;1;2);N(1;4;3);P(5;10;5). Khẳng định nào sau đây sai?
A. MN=√14. B. Các điểm O, M, N, P cùng thuộc một mặt phẳng. C. Trung điểm của NP là I(3;7;4). D. M, N, P là ba đỉnh của một tam giác. |
Lời giải chi tiết:
Ta có: →MN(2;3;1);→MP(6;9;3) suy ra →MP=3→MN nên M, N, P thẳng hàng suy ra khẳng định D sai. Các khẳng định còn lại đều đúng. Chọn D.
Bài tập 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tam giác ABC có A(1;2;−1),B(3;0;3). Tìm tọa độ điểm C sao cho G(2;2;2) là trọng tâm tam giác ABC.
A. C(2;4;4) B. C(0;2;2) C. C(8;10;10) D. C(−2;−4;−4) |
Lời giải chi tiết:
Giả sử C(a;b;c). Vì G là trọng tâm ΔABC nên {a=3.2−1−3=2b=3.2−2−0=4c=3.2−(−1)−3=4⇒G(2;4;4). Chọn A.
Bài tập 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0),B(3;0;0), D(0;3;0) và {D}'(0;3;−3). Tọa độ trọng tâm của tam giác A’B’C’ là:
A. (1;1;−2). B. (2;1;−1). C. (1;2;−1). D. (2;1;−2). |
Lời giải chi tiết:
Từ giả thiết ta có: {→AA′=→DD′(0;0;−3)⇒A′(0;0;−3)→AB(3;0;0)=→A′B′⇒B′(3;0;−3)→AB(3;0;0)=→DC⇒C(3;3;0)→G(2;1;−2). Chọn D.
Bài tập 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy tính góc giữa hai vectơ →a(1;2;−2) và →b(−1;−1;0).
A. (→a,→b)=120∘. B. (→a,→b)=45∘. C. (→a,→b)=60∘. D. (→a,→b)=135∘. |
Lời giải chi tiết:
Gọi α là góc giữa hai vectơ. Ta có:
cosα=1.(−1)+2(−1)+(−2).0√12+22+(−2)2.√(−1)2+(−1)2+02=−1√2⇒α=−135∘. Chọn D.
Bài tập 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;−1;3),B(2;−3;5),C(−1;−2;6). Biết điểm M(a;b;c) thỏa mãn →MA+2→MB−2→MC=→0, tính T=a−b+c.
A. T=3 B. T=5 C. T=11 D. T=10 |
Lời giải chi tiết:
Ta có: →MA+2→MB−2→MC=→0⇔→MA+2→CB=→0⇔→MA=2→BC=2(−3;1;1)⇒M(7;−3;1)
Suy ra T=a−b+c=11. Chọn C.
Bài tập 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M(2;3;−1),N(−1;1;1) và P(1;m−1;2). Tìm m để tam giác MNP vuông tại N.
A. m=−6 B. m=0 C. m=−4 D. m=2 |
Lời giải chi tiết:
Ta có: →NM(3;2;−2),→NP(2;m−2;1). Để tam giác MNP vuông tại N thì
→NM.→NP=0⇔3.2+2(m−2)+(−2).1=0⇔m=0.&n
TOÁN LỚP 12