Bài tập ứng dụng tích phân tính diện tích mặt phẳng có đáp án chi tiết - Tự Học 365

Bài tập ứng dụng tích phân tính diện tích mặt phẳng có đáp án chi tiết

Bài tập ứng dụng tích phân tính diện tích mặt phẳng có đáp án chi tiết

Bài tập tích phân vận dụng cao có đáp án chi tiết – chia dạng và cách giải

 Dạng 1. Bài toán tích phân liên quan đến các biểu thức sau:

(1) . $u(x).f'(x)+u'(x).f(x)=h(x)$

(2). $\frac{u'(x).f(x)-u(x).f'(x)}{{{f}^{2}}(x)}=h(x)$

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức: $(uv)'=u'v+v'u$và ${{\left( \frac{u}{v} \right)}^{'}}=\frac{u'v-v'u}{{{v}^{2}}}$

(1). Biến đổi: $u(x).f'(x)+u'(x).f(x)=h(x)\Leftrightarrow \left[ u(x).f(x) \right]'=h(x)\Rightarrow u(x).f(x)=\int{h(x)dx}$

(2). Biến đổi: $\frac{u'(x).f(x)-u(x).f'(x)}{{{f}^{2}}(x)}=h(x)\Leftrightarrow {{\left[ \frac{u(x)}{f(x)} \right]}^{'}}=h(x)\Rightarrow \frac{u(x)}{f(x)}=\int{h(x)dx}$

 Dạng 2. Bài toán tích phân liên quan đến các biểu thức sau:

(1) . $f'(x)+f(x)=h(x)$

2). $f'(x)-f(x)=h(x)$

Phương pháp giải:

(1). Biến đổi: $f'(x)+f(x)=h(x)\Rightarrow {{e}^{x}}.f'(x)+{{e}^{x}}.f(x)={{e}^{x}}.h(x)$

$\Leftrightarrow {{\left[ {{e}^{x}}.f(x) \right]}^{\prime }}={{e}^{x}}.h(x)\Leftrightarrow {{e}^{x}}.f(x)=\int{{{e}^{x}}.h(x)dx}$

(2). Biến đổi: $f'(x)-f(x)=h(x)\Rightarrow {{e}^{-x}}.f'(x)-{{e}^{-x}}.f(x)={{e}^{-x}}.h(x)$

$\Leftrightarrow {{\left[ {{e}^{-x}}.f(x) \right]}^{\prime }}={{e}^{-x}}.h(x)\Leftrightarrow {{e}^{-x}}.f(x)=\int{{{e}^{-x}}.h(x)dx}$

 Dạng 3. Bài toán tổng quát: $f'(x)+p(x).f(x)=h(x)$

Phương pháp giải:

Nhân 2 vế với ${{e}^{\int{p(x)dx}}}$ta được ${{e}^{\int{p(x)dx}}}.f'(x)+{{e}^{\int{p(x)dx}}}.p(x).f(x)={{e}^{\int{p(x)dx}}}.h(x)$

$\Leftrightarrow {{\left[ {{e}^{\int{p(x)dx}}}.f(x) \right]}^{\prime }}=h(x).{{e}^{\int{p(x)dx}}}\Rightarrow {{e}^{\int{p(x)dx}}}.f(x)=\int{h(x).}{{e}^{\int{p(x)dx}}}dx$

Tổng quát: ${{e}^{\int{p(x)dx}}}.f(x)=\int{h(x).}{{e}^{\int{p(x)dx}}}dx$

Bài tập tích phân hay và khó đạt 9-10 có Lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 0;2 \right]$thỏa mãn $f(0)=3$ và

$(2x+3)f'(x)+2f(x)=4x-3{{x}^{2}}$. Tính $f(2)$bằng

A. $f(2)=1$ B. $f(2)=\frac{9}{7}$ C. $f(2)=\frac{1}{5}$ D. $f(2)=\frac{1}{7}$

Lời giải chi tiết

Ta có: $(2x+3)f'(x)+2f(x)=4x-3{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{\left[ (2x+3)f(x) \right]}^{\prime }}=4x-3{{x}^{2}}$

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: $(2x+3)f(x)=\int{(4x-3{{x}^{2}})}dx=2{{x}^{2}}-{{x}^{3}}+C$

Do $f(0)=3\Rightarrow 3f(0)=C\Rightarrow C=9$

Thay $x=2\Rightarrow 7f(2)=8-8+9\Rightarrow f(2)=\frac{9}{7}$. Chọn B.

Bài tập 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$thỏa mãn $f(1)=2$ và

$({{x}^{2}}+x+2)f'(x)+(2x+1)f(x)=4{{x}^{3}}+2x$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $2<f(3)<3$ B. $3<f(3)<5$ C. $f(3)<2$ D. $f(3)>5$

Lời giải chi tiết

Ta có: $({{x}^{2}}+x+2)f'(x)+(2x+1)f(x)=4{{x}^{3}}+2x\Leftrightarrow {{\left[ ({{x}^{2}}+x+2)f(x) \right]}^{\prime }}=4{{x}^{3}}+2x$

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: $({{x}^{2}}+x+2)f(x)=\int{(4{{x}^{3}}+2x})dx={{x}^{4}}+{{x}^{2}}+C$

Do $f(1)=2\Rightarrow 4f(1)=2+C\Rightarrow C=6$

Khi đó $({{3}^{2}}+3+2)f(3)={{3}^{4}}+{{3}^{2}}+6\Rightarrow f(3)=\frac{48}{7}>5$. Chọn D.

Bài tập 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 1;4 \right]$thỏa mãn $f(1)=2$ và

$f(x)=x.f'(x)+3{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}$. Tính giá trị $f(4)$

A. $f(4)=-2$ B. $f(4)=-196$ C. $f(4)=-48$ D. $f(4)=-193$

Lời giải chi tiết

Ta có $f(x)=x.f'(x)+3{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}\Rightarrow \frac{f(x)-x.f'(x)}{{{x}^{2}}}=3{{x}^{2}}-4$

$\Leftrightarrow \frac{xf'(x)-f(x)}{{{x}^{2}}}=-3{{x}^{2}}+4$(*). Mặt khác ${{\left[ \frac{f(x)}{x} \right]}^{\prime }}=\frac{x.f'(x)-f(x)}{{{x}^{2}}}$

Lấy nguyên hàm 2 vế của (*) ta có: $\frac{f(x)}{x}=-{{x}^{3}}+4x+C$

Do $f(1)=2\Rightarrow \frac{f(1)}{1}=-1+4+C\Rightarrow C=-1\Rightarrow f(x)=-{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-x$

Khi đó $f(4)=-196$. Chọn B.

Bài tập 4: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết rằng $f\left( \frac{\pi }{4} \right)=0$ và

$\operatorname{s}\text{inx}.f'(x)+\cos x.f(x)=\operatorname{s}\text{inx}+\cos x$. Tính giá trị của $f\left( \frac{\pi }{2} \right)$

A. $f\left( \frac{\pi }{2} \right)=0$ B. $f\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{1}{2}$ C. $f\left( \frac{\pi }{2} \right)=2$ D. $f\left( \frac{\pi }{2} \right)=1$

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{\left[ \operatorname{s}\text{inx}.f(x) \right]}^{\prime }}=\operatorname{s}\text{inx}.f'(x)+\cos x.f(x)$

Từ giả thiết lấy nguyên hàm 2 vế ta được: $\operatorname{s}\text{inx}.f(x)=-\cos x+\operatorname{s}\text{inx}+C$

Do $f\left( \frac{\pi }{4} \right)=0\Rightarrow -cos\frac{\pi }{4}+\sin \frac{\pi }{4}+C=0\Leftrightarrow C=0$

Suy ra $\operatorname{s}\text{inx}.f(x)=\operatorname{s}\text{inx}-\cos x\Rightarrow \sin \frac{\pi }{2}.f\left( \frac{\pi }{2} \right)=1\Rightarrow f\left( \frac{\pi }{2} \right)=1$. Chọn D.

Bài tập 5: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 0;2 \right]$thỏa mãn $f'(x)+f(x)=x-1$. Biết $f(0)=9$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $f(2)=9{{e}^{-2}}$ B. $f(2)=9{{e}^{2}}$ C. $f(2)=1+9{{e}^{2}}$ D. $f(2)=-1+9{{e}^{2}}$

Lời giải chi tiết

Ta có: $f'(x)+f(x)=x-1\Leftrightarrow {{e}^{x}}.f'(x)+{{e}^{x}}.f(x)={{e}^{x}}(x-1)$

$\Leftrightarrow {{\left[ {{e}^{x}}.f(x) \right]}^{\prime }}={{e}^{x}}(x-1)\Rightarrow {{e}^{x}}.f(x)=\int{{{e}^{x}}(x-1)dx}$

Đặt $\left\{ \begin{array} {} u=x-1 \\ {} dv={{e}^{x}}dx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} du=dx \\ {} v={{e}^{x}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \int{{{e}^{x}}(x-1)dx=(x-1){{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}dx=(x-2){{e}^{x}}}}+C$

Do đó ${{e}^{x}}.f(x)=(x-2){{e}^{x}}+C\Rightarrow f(x)=\frac{(x-2){{e}^{x}}+C}{{{e}^{x}}}$

Lại có $f(0)=-2+C=7\Rightarrow C=9\Rightarrow f(x)=\frac{(x-2){{e}^{x}}+9}{{{e}^{x}}}\Rightarrow f(2)=\frac{9}{{{e}^{2}}}$. Chọn A.

Bài tập 6: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết rằng $f(0)=3$ và

$f(x)-f'(x)=2x+1$. Giá trị của $f\left( 1 \right)$thuộc đoạn

A. $\left[ 0;2 \right]$ B. $\left[ 4;6 \right]$ C. $\left[ 2;4 \right]$ D. $\left[ 6;8 \right]$

Lời giải chi tiết

Ta có : $f(x)-f'(x)=2x+1\Leftrightarrow {{e}^{-x}}f(x)-{{e}^{-x}}.f'(x)={{e}^{-x}}(2x+1)$

Mặt khác ${{\left[ {{e}^{-x}}.f(x) \right]}^{\prime }}={{e}^{-x}}.f'(x)-{{e}^{-x}}f(x)$

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: $-{{e}^{-x}}.f(x)=\int{{{e}^{-x}}(2x+1)dx}$

Đặt $\left\{ \begin{array} {} u=(2x+1)dx \\ {} dv={{e}^{-x}}dx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} du=2dx \\ {} v=-{{e}^{-x}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \int{{{e}^{-x}}(2x+1)dx=-{{e}^{-x}}(2x+1)+\int{2{{e}^{-x}}dx}}$

$\Rightarrow -{{e}^{-x}}.f(x)=-{{e}^{-x}}(2x+3)+C\Leftrightarrow {{e}^{-x}}.f(x)={{e}^{-x}}(2x+3)+C$

Do $f(0)=4$nên $4=3+C\Rightarrow C=1\Rightarrow f(x)=2x+3+\frac{1}{{{e}^{-x}}}=f(x)=2x+3+{{e}^{x}}$

$\Rightarrow f(1)=5+e\in \left[ 6;8 \right]$. Chọn D.

Bài tập 7: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$, biết rằng $f(0)=\frac{13}{3}$ và

$({{x}^{2}}+1)f'(x)+xf(x)={{x}^{3}}+4x$. Khi đó:

A. $0<f(1)<2$ B. $2<f(1)<4$ C. $4<f(1)<5$ D. $f(1)>5$

Lời giải chi tiết

Ta có : $({{x}^{2}}+1)f'(x)+xf(x)={{x}^{3}}+4x\Leftrightarrow f'(x)+\frac{x}{{{x}^{2}}+1}f(x)=\frac{{{x}^{3}}+4x}{{{x}^{2}}+1}$

Áp dụng công thức nhanh Dạng 3 ta có $f(x).{{e}^{\int{\frac{xdx}{{{x}^{2}}+1}}}}=\int{\frac{{{x}^{3}}+4x}{{{x}^{2}}+1}.}{{e}^{\int{\frac{xdx}{{{x}^{2}}+1}}}}dx$ (*)

Ta tính: ${{e}^{\int{\frac{xdx}{{{x}^{2}}+1}}}}={{e}^{\frac{1}{2}\ln ({{x}^{2}}+1)}}=\sqrt{{{x}^{2}}+1}$

Do đó (*)$\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+1}.f(x)=\int{\frac{{{x}^{3}}+4x}{{{x}^{2}}+1}}\sqrt{{{x}^{2}}+1}dx$

$=\int{\frac{x({{x}^{2}}+4)}{{{x}^{2}}+1}}dx=\frac{1}{2}\int{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+\frac{3}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \right)}d({{x}^{2}}+1)=\frac{1}{3}\sqrt{{{({{x}^{2}}+1)}^{3}}}+3\sqrt{{{x}^{2}}+1}+C$

Do đó $f(x)=\frac{{{x}^{2}}+1}{3}+3+\frac{C}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{{{x}^{2}}+10}{3}+\frac{C}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$

Mặt khác $f(0)=\frac{10}{3}+C=\frac{13}{3}\Rightarrow C=1\Rightarrow f(1)=\frac{11}{3}+\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow 4<f(1)<5$. Chọn C.

Bài tập 8: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn $\left[ 2;4 \right]$, biết rằng $f(2)=6$ và

$({{x}^{2}}-1)f'(x)+f(x)={{x}^{2}}+x$. Tính $f(4)$

A. $f(4)=2+\sqrt{5}$ B. $f(4)=5+\sqrt{5}$ C. $f(4)=5+\sqrt{15}$ D. $f(4)=2+\sqrt{15}$

Lời giải chi tiết

Ta có: $({{x}^{2}}-1)f'(x)+f(x)={{x}^{2}}+x\Leftrightarrow f'(x)+\frac{f(x)}{{{x}^{2}}-1}=\frac{x}{x-1}$với $x\in \left[ 2;4 \right]$

Áp dụng công thức nhanh Dạng 3 ta có $f(x).{{e}^{\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}-1}}}}=\int{\frac{x}{x-1}.}{{e}^{\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}-1}}}}dx$(*)

Lại có ${{e}^{\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}-1}}}}={{e}^{\frac{1}{2}\ln \frac{x-1}{x+1}}}=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$

Do đó (*)$\Leftrightarrow f(x).\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}=\int{\frac{x}{x-1}}\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}dx=\int{\frac{xdx}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}}=\frac{1}{2}\int{\frac{d({{x}^{2}}-1)}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}}=\sqrt{{{x}^{2}}-1}+C$

Suy ra $f(x)=C\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}+x+1\Rightarrow f(2)=C\sqrt{3}+3=6\Rightarrow f(x)=\sqrt{\frac{3x+3}{x-1}}+x+1$

Vậy $f(4)=5+\sqrt{5}$. Chọn B.

Bài tập 9: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn $\left[ 1;e \right]$, thỏa mãn

$xf'(x)=x{{\left[ f(x) \right]}^{2}}+3f(x)+\frac{4}{x}$và $f(1)=-3$. Tính $f(e)$

A. $\frac{5}{2e}$ B. $-\frac{5}{2}$ C. $-\frac{5}{2e}$ D. $\frac{5}{2}$

Lời giải chi tiết

Ta có $xf'(x)=x{{\left[ f(x) \right]}^{2}}+3f(x)+\frac{4}{x}\Leftrightarrow f(x)+xf'(x)=x{{\left[ f(x) \right]}^{2}}+4f(x)+\frac{4}{x}$

$\Leftrightarrow {{\left[ xf(x) \right]}^{\prime }}=\frac{1}{x}{{\left[ xf(x)+2 \right]}^{2}}\Leftrightarrow \frac{{{\left[ xf(x) \right]}^{\prime }}}{{{\left[ xf(x)+2 \right]}^{2}}}=\frac{1}{x}$

Đặt $g(x)=xf(x)$ta có: $\frac{g'(x)}{{{\left[ g(x)+2 \right]}^{2}}}=\frac{1}{x}$suy ra$\int{\frac{g'(x)dx}{{{\left[ g(x)+2 \right]}^{2}}}}=\int{\frac{dx}{x}}$

$\Leftrightarrow \int{\frac{d\left[ g(x) \right]}{{{\left[ g(x)+2 \right]}^{2}}}}=\ln \left| x \right|+C\Leftrightarrow \frac{-1}{g(x)+2}=\ln \left| x \right|+C\Leftrightarrow \frac{-1}{xf(x)+2}=\ln \left| x \right|+C$

Do $f(1)=-3$nên $\frac{-1}{-1}=C\Leftrightarrow C=1$. Suy ra $\frac{-1}{ef(e)+2}=2\Leftrightarrow f(e)=\frac{-5}{2e}$. Chọn C.

Bài tập 10: Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm tại mọi $x\in \left( 0;+\infty \right)$, đồng thời thỏa mãn điều kiện

$f(x)=x\left( \operatorname{s}\text{inx}+f'(x) \right)+\cos x$và $\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{f(x)\sin \text{x}dx=-4}$. Khi đó, $f(\pi )$nằm trong khoảng

A. $\left( 6;7 \right)$ B. $\left( 5;6 \right)$ C. $\left( 12;13 \right)$ D. $\left( 11;12 \right)$

Lời giải chi tiết

Ta có $f(x)=x\left( \operatorname{s}\text{inx}+f'(x) \right)+\cos x\Leftrightarrow f(x)-xf'(x)=x\sin x+\cos x$

$\Leftrightarrow \frac{f(x)-xf'(x)}{{{x}^{2}}}=\frac{x\sin x+\cos x}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow -{{\left[ \frac{f(x)}{x} \right]}^{\prime }}=-{{\left( \frac{\cos x}{x} \right)}^{\prime }}$

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: $\frac{f(x)}{x}=\frac{\cos x}{x}+C\Rightarrow f(x)=\cos x+Cx$

Khi đó: $\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{f(x)\sin \text{x}dx=}\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{(\sin \text{xcosx+Cxsinx)}dx}=-4\Rightarrow C=2$

Suy ra $f(x)=\cos x+2x\Rightarrow f(\pi )=-1+2\pi \in (5;6)$. Chọn B.

Bài tập 11: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn $\left[ 0;\frac{\pi }{3} \right]$. Biết rằng

$f'(x).\cos x+f(x).\operatorname{s}\text{inx}=1,\forall x\in \left[ 0;\frac{\pi }{3} \right]$và $f(0)=1$. Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{f(x)dx}$

A. $I=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$ B. $I=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ C. $I=\frac{1}{2}$ D. $I=\frac{1}{2}+\frac{\pi }{3}$

Lời giải chi tiết

$f'(x).\cos x+f(x).\operatorname{s}\text{inx}=1\Leftrightarrow \frac{f'(x).\cos x+f(x).\operatorname{s}\text{inx}}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\Leftrightarrow {{\left[ \frac{f(x)}{\cos x} \right]}^{\prime }}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}$

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: $\frac{f(x)}{\cos x}=\operatorname{tanx}+C$. Theo giả thiết $f(0)=1\Rightarrow C=1$

Khi đó $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\text{(tanx+1)cosx}dx=}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{(\operatorname{s}\text{inx}+cosx)dx}=\left. (-\cos x+\operatorname{s}\text{inx}) \right|_{0}^{\frac{\pi }{3}}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

Chọn A.

Bài tập 12: Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm tại mọi $\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)$, đồng thời thỏa mãn hệ thức

$f(x)+\operatorname{tanx}.f'(x)=\frac{x}{{{\cos }^{3}}x}$. Biết rằng $\sqrt{3}f\left( \frac{\pi }{3} \right)-f\left( \frac{\pi }{6} \right)=a\pi \sqrt{3}+b\ln 3$ trong đó $a,b\in \mathbb{R}$. Tính giá trị của biểu thức $P=a+b$

A. $P=\frac{14}{9}$ B. $P=\frac{-4}{9}$ C. $P=\frac{7}{9}$ D. $P=\frac{-2}{9}$

Lời giải chi tiết

Ta có $f(x)+\operatorname{tanx}.f'(x)=\frac{x}{{{\cos }^{3}}x}\Leftrightarrow \cos .f(x)+\sin \text{x}f'(x)=\frac{x}{{{\cos }^{2}}x}\Leftrightarrow {{\left[ \operatorname{s}\text{inx}.f(x) \right]}^{\prime }}=\frac{x}{{{\cos }^{2}}x}$

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: $\operatorname{s}\text{inx}.f(x)=\int{\frac{xdx}{{{\cos }^{2}}x}}$

Đặt $\left\{ \begin{array} {} u=x \\ {} dv=\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} du=dx \\ {} v=\tan x \\ \end{array} \right.\Rightarrow \sin x.f(x)=\int{\frac{xdx}{{{\cos }^{2}}x}}=x\tan x-\int{\tan xdx}$

$\Rightarrow \sin x.f(x)=x\tan x+\ln \left| \cos x \right|$

Do đó $\frac{\sqrt{3}f\left( \frac{\pi }{3} \right)-f\left( \frac{\pi }{6} \right)}{2}=\frac{\pi }{3}\sqrt{3}+\ln \frac{1}{2}-\frac{\pi }{6\sqrt{3}}-\ln \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\pi \sqrt{3}}{18}-\ln \sqrt{3}$

Suy ra $\sqrt{3}f\left( \frac{\pi }{3} \right)-f\left( \frac{\pi }{6} \right)=\frac{5\pi \sqrt{3}}{9}-\ln 3\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} a=\frac{5}{9} \\ {} b=-1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow a+b=\frac{-4}{9}$. Chọn B.

Bài tập 13: Tính tích phân $I=\int\limits_{-1}^{3}{\min \left\{ {{e}^{x}};{{e}^{-x}} \right\}}dx$

A. $I=\frac{2}{e}-2$ B. $I=\frac{2}{e}+2$ C. $I=2-\frac{2}{e}$ D. $I=\frac{2}{e}$

Lời giải chi tiết

Xét phương trình ${{\text{e}}^{x}}={{e}^{-x}}\Leftrightarrow {{e}^{x}}=\frac{1}{{{e}^{x}}}\Leftrightarrow {{e}^{x}}=1\Leftrightarrow x=0$

Suy ra trên $\left[ -1;0 \right]\to {{e}^{x}}-{{e}^{-x}}<0\Rightarrow \min \left\{ {{e}^{x}};{{e}^{-x}} \right\}={{e}^{x}}$

Và trên $\left[ 1;3 \right]\to {{e}^{x}}-{{e}^{-x}}>0\Rightarrow \min \left\{ {{e}^{x}};{{e}^{-x}} \right\}={{e}^{-x}}$

Vậy $I=\int\limits_{-1}^{0}{{{e}^{x}}dx+}\int\limits_{0}^{3}{{{e}^{-x}}dx}=2-\frac{2}{e}$. Chọn C.

Bài tập 14: Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{3}{\max \left\{ {{x}^{3}};4{{x}^{2}}-3x \right\}}dx$

A. $I=\frac{117}{2}$ B. $I=\frac{275}{12}$ C. $I=19$ D. $I=27$

Lời giải chi tiết

Xét phương trình ${{x}^{3}}=4{{x}^{2}}-3x\Leftrightarrow {{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+3x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=1;x=3 \\ \end{array} \right.$

Suy ra trên $\left[ 0;1 \right]\to {{x}^{3}}-(4{{x}^{2}}-3x)>0\Rightarrow \max \left\{ {{x}^{3}};4{{x}^{2}}-3x \right\}={{x}^{3}}$

Và trên $\left[ 1;3 \right]\to {{x}^{3}}-(4{{x}^{2}}-3x)<0\Rightarrow \max \left\{ {{x}^{3}};4{{x}^{2}}-3x \right\}=4{{x}^{2}}-3x$

Vậy $I=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}dx+}\int\limits_{1}^{3}{(4{{x}^{2}}-3x)dx}=\frac{275}{12}$. Chọn B.

Bài tập 15: Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\min \left\{ s\text{inx};cosx \right\}}dx$

A. $I=\sqrt{2}-2$ B. $I=\sqrt{2}$ C. $I=2+\sqrt{2}$ D. $I=2-\sqrt{2}$

Lời giải chi tiết

Xét phương trình $\operatorname{s}\text{inx}-\cos x=0\Leftrightarrow \sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}$

Suy ra trên $\left[ 0;\frac{\pi }{4} \right]\to \operatorname{s}\text{inx}-\cos x<0\Rightarrow \min \left\{ \operatorname{s}\text{inx;}\cos x \right\}=\operatorname{sinx}$

Và trên $\left[ 0;\frac{\pi }{4} \right]\to \operatorname{s}\text{inx}-\cos x>0\Rightarrow \min \left\{ \operatorname{s}\text{inx;}\cos x \right\}=\cos x$

Vậy $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{s\text{inx}dx+}\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{cosxdx}=2-\sqrt{2}$. Chọn D.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12