Bài tập ứng dụng tích phân tính diện tích mặt phẳng có đáp án chi tiết

Bài tập tích phân vận dụng cao có đáp án chi tiết – chia dạng và cách giải

 Dạng 1. Bài toán tích phân liên quan đến các biểu thức sau:

(1) . $u(x).f'(x)+u'(x).f(x)=h(x)$

(2). $\frac{u'(x).f(x)-u(x).f'(x)}{{{f}^{2}}(x)}=h(x)$

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức: $(uv)'=u'v+v'u$và ${{\left( \frac{u}{v} \right)}^{'}}=\frac{u'v-v'u}{{{v}^{2}}}$

(1). Biến đổi: $u(x).f'(x)+u'(x).f(x)=h(x)\Leftrightarrow \left[ u(x).f(x) \right]'=h(x)\Rightarrow u(x).f(x)=\int{h(x)dx}$

(2). Biến đổi: $\frac{u'(x).f(x)-u(x).f'(x)}{{{f}^{2}}(x)}=h(x)\Leftrightarrow {{\left[ \frac{u(x)}{f(x)} \right]}^{'}}=h(x)\Rightarrow \frac{u(x)}{f(x)}=\int{h(x)dx}$

 Dạng 2. Bài toán tích phân liên quan đến các biểu thức sau:

(1) . $f'(x)+f(x)=h(x)$

2). $f'(x)-f(x)=h(x)$

Phương pháp giải:

(1). Biến đổi: $f'(x)+f(x)=h(x)\Rightarrow {{e}^{x}}.f'(x)+{{e}^{x}}.f(x)={{e}^{x}}.h(x)$

$\Leftrightarrow {{\left[ {{e}^{x}}.f(x) \right]}^{\prime }}={{e}^{x}}.h(x)\Leftrightarrow {{e}^{x}}.f(x)=\int{{{e}^{x}}.h(x)dx}$

(2). Biến đổi: $f'(x)-f(x)=h(x)\Rightarrow {{e}^{-x}}.f'(x)-{{e}^{-x}}.f(x)={{e}^{-x}}.h(x)$

$\Leftrightarrow {{\left[ {{e}^{-x}}.f(x) \right]}^{\prime }}={{e}^{-x}}.h(x)\Leftrightarrow {{e}^{-x}}.f(x)=\int{{{e}^{-x}}.h(x)dx}$

 Dạng 3. Bài toán tổng quát: $f'(x)+p(x).f(x)=h(x)$

Phương pháp giải:

Nhân 2 vế với ${{e}^{\int{p(x)dx}}}$ta được ${{e}^{\int{p(x)dx}}}.f'(x)+{{e}^{\int{p(x)dx}}}.p(x).f(x)={{e}^{\int{p(x)dx}}}.h(x)$

$\Leftrightarrow {{\left[ {{e}^{\int{p(x)dx}}}.f(x) \right]}^{\prime }}=h(x).{{e}^{\int{p(x)dx}}}\Rightarrow {{e}^{\int{p(x)dx}}}.f(x)=\int{h(x).}{{e}^{\int{p(x)dx}}}dx$

Tổng quát: ${{e}^{\int{p(x)dx}}}.f(x)=\int{h(x).}{{e}^{\int{p(x)dx}}}dx$

Bài tập tích phân hay và khó đạt 9-10 có Lời giải chi tiết

Lời giải chi tiết

Ta có: $(2x+3)f'(x)+2f(x)=4x-3{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{\left[ (2x+3)f(x) \right]}^{\prime }}=4x-3{{x}^{2}}$

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: $(2x+3)f(x)=\int{(4x-3{{x}^{2}})}dx=2{{x}^{2}}-{{x}^{3}}+C$

Do $f(0)=3\Rightarrow 3f(0)=C\Rightarrow C=9$

Thay $x=2\Rightarrow 7f(2)=8-8+9\Rightarrow f(2)=\frac{9}{7}$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có: $({{x}^{2}}+x+2)f'(x)+(2x+1)f(x)=4{{x}^{3}}+2x\Leftrightarrow {{\left[ ({{x}^{2}}+x+2)f(x) \right]}^{\prime }}=4{{x}^{3}}+2x$

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: $({{x}^{2}}+x+2)f(x)=\int{(4{{x}^{3}}+2x})dx={{x}^{4}}+{{x}^{2}}+C$

Do $f(1)=2\Rightarrow 4f(1)=2+C\Rightarrow C=6$

Khi đó $({{3}^{2}}+3+2)f(3)={{3}^{4}}+{{3}^{2}}+6\Rightarrow f(3)=\frac{48}{7}>5$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có $f(x)=x.f'(x)+3{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}\Rightarrow \frac{f(x)-x.f'(x)}{{{x}^{2}}}=3{{x}^{2}}-4$

$\Leftrightarrow \frac{xf'(x)-f(x)}{{{x}^{2}}}=-3{{x}^{2}}+4$(*). Mặt khác ${{\left[ \frac{f(x)}{x} \right]}^{\prime }}=\frac{x.f'(x)-f(x)}{{{x}^{2}}}$

Lấy nguyên hàm 2 vế của (*) ta có: $\frac{f(x)}{x}=-{{x}^{3}}+4x+C$

Do $f(1)=2\Rightarrow \frac{f(1)}{1}=-1+4+C\Rightarrow C=-1\Rightarrow f(x)=-{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-x$

Khi đó $f(4)=-196$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{\left[ \operatorname{s}\text{inx}.f(x) \right]}^{\prime }}=\operatorname{s}\text{inx}.f'(x)+\cos x.f(x)$

Từ giả thiết lấy nguyên hàm 2 vế ta được: $\operatorname{s}\text{inx}.f(x)=-\cos x+\operatorname{s}\text{inx}+C$

Do $f\left( \frac{\pi }{4} \right)=0\Rightarrow -cos\frac{\pi }{4}+\sin \frac{\pi }{4}+C=0\Leftrightarrow C=0$

Suy ra $\operatorname{s}\text{inx}.f(x)=\operatorname{s}\text{inx}-\cos x\Rightarrow \sin \frac{\pi }{2}.f\left( \frac{\pi }{2} \right)=1\Rightarrow f\left( \frac{\pi }{2} \right)=1$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $f'(x)+f(x)=x-1\Leftrightarrow {{e}^{x}}.f'(x)+{{e}^{x}}.f(x)={{e}^{x}}(x-1)$

$\Leftrightarrow {{\left[ {{e}^{x}}.f(x) \right]}^{\prime }}={{e}^{x}}(x-1)\Rightarrow {{e}^{x}}.f(x)=\int{{{e}^{x}}(x-1)dx}$

Đặt $\left\{ \begin{array} {} u=x-1 \\ {} dv={{e}^{x}}dx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} du=dx \\ {} v={{e}^{x}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \int{{{e}^{x}}(x-1)dx=(x-1){{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}dx=(x-2){{e}^{x}}}}+C$

Do đó ${{e}^{x}}.f(x)=(x-2){{e}^{x}}+C\Rightarrow f(x)=\frac{(x-2){{e}^{x}}+C}{{{e}^{x}}}$

Lại có $f(0)=-2+C=7\Rightarrow C=9\Rightarrow f(x)=\frac{(x-2){{e}^{x}}+9}{{{e}^{x}}}\Rightarrow f(2)=\frac{9}{{{e}^{2}}}$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có : $f(x)-f'(x)=2x+1\Leftrightarrow {{e}^{-x}}f(x)-{{e}^{-x}}.f'(x)={{e}^{-x}}(2x+1)$

Mặt khác ${{\left[ {{e}^{-x}}.f(x) \right]}^{\prime }}={{e}^{-x}}.f'(x)-{{e}^{-x}}f(x)$

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: $-{{e}^{-x}}.f(x)=\int{{{e}^{-x}}(2x+1)dx}$

Đặt $\left\{ \begin{array} {} u=(2x+1)dx \\ {} dv={{e}^{-x}}dx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} du=2dx \\ {} v=-{{e}^{-x}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \int{{{e}^{-x}}(2x+1)dx=-{{e}^{-x}}(2x+1)+\int{2{{e}^{-x}}dx}}$

$\Rightarrow -{{e}^{-x}}.f(x)=-{{e}^{-x}}(2x+3)+C\Leftrightarrow {{e}^{-x}}.f(x)={{e}^{-x}}(2x+3)+C$

Do $f(0)=4$nên $4=3+C\Rightarrow C=1\Rightarrow f(x)=2x+3+\frac{1}{{{e}^{-x}}}=f(x)=2x+3+{{e}^{x}}$

$\Rightarrow f(1)=5+e\in \left[ 6;8 \right]$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có : $({{x}^{2}}+1)f'(x)+xf(x)={{x}^{3}}+4x\Leftrightarrow f'(x)+\frac{x}{{{x}^{2}}+1}f(x)=\frac{{{x}^{3}}+4x}{{{x}^{2}}+1}$

Áp dụng công thức nhanh Dạng 3 ta có $f(x).{{e}^{\int{\frac{xdx}{{{x}^{2}}+1}}}}=\int{\frac{{{x}^{3}}+4x}{{{x}^{2}}+1}.}{{e}^{\int{\frac{xdx}{{{x}^{2}}+1}}}}dx$ (*)

Ta tính: ${{e}^{\int{\frac{xdx}{{{x}^{2}}+1}}}}={{e}^{\frac{1}{2}\ln ({{x}^{2}}+1)}}=\sqrt{{{x}^{2}}+1}$

Do đó (*)$\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+1}.f(x)=\int{\frac{{{x}^{3}}+4x}{{{x}^{2}}+1}}\sqrt{{{x}^{2}}+1}dx$

$=\int{\frac{x({{x}^{2}}+4)}{{{x}^{2}}+1}}dx=\frac{1}{2}\int{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+\frac{3}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \right)}d({{x}^{2}}+1)=\frac{1}{3}\sqrt{{{({{x}^{2}}+1)}^{3}}}+3\sqrt{{{x}^{2}}+1}+C$

Do đó $f(x)=\frac{{{x}^{2}}+1}{3}+3+\frac{C}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{{{x}^{2}}+10}{3}+\frac{C}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$

Mặt khác $f(0)=\frac{10}{3}+C=\frac{13}{3}\Rightarrow C=1\Rightarrow f(1)=\frac{11}{3}+\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow 4<f(1)<5$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có: $({{x}^{2}}-1)f'(x)+f(x)={{x}^{2}}+x\Leftrightarrow f'(x)+\frac{f(x)}{{{x}^{2}}-1}=\frac{x}{x-1}$với $x\in \left[ 2;4 \right]$

Áp dụng công thức nhanh Dạng 3 ta có $f(x).{{e}^{\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}-1}}}}=\int{\frac{x}{x-1}.}{{e}^{\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}-1}}}}dx$(*)

Lại có ${{e}^{\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}-1}}}}={{e}^{\frac{1}{2}\ln \frac{x-1}{x+1}}}=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$

Do đó (*)$\Leftrightarrow f(x).\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}=\int{\frac{x}{x-1}}\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}dx=\int{\frac{xdx}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}}=\frac{1}{2}\int{\frac{d({{x}^{2}}-1)}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}}=\sqrt{{{x}^{2}}-1}+C$

Suy ra $f(x)=C\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}+x+1\Rightarrow f(2)=C\sqrt{3}+3=6\Rightarrow f(x)=\sqrt{\frac{3x+3}{x-1}}+x+1$

Vậy $f(4)=5+\sqrt{5}$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có $xf'(x)=x{{\left[ f(x) \right]}^{2}}+3f(x)+\frac{4}{x}\Leftrightarrow f(x)+xf'(x)=x{{\left[ f(x) \right]}^{2}}+4f(x)+\frac{4}{x}$

$\Leftrightarrow {{\left[ xf(x) \right]}^{\prime }}=\frac{1}{x}{{\left[ xf(x)+2 \right]}^{2}}\Leftrightarrow \frac{{{\left[ xf(x) \right]}^{\prime }}}{{{\left[ xf(x)+2 \right]}^{2}}}=\frac{1}{x}$

Đặt $g(x)=xf(x)$ta có: $\frac{g'(x)}{{{\left[ g(x)+2 \right]}^{2}}}=\frac{1}{x}$suy ra$\int{\frac{g'(x)dx}{{{\left[ g(x)+2 \right]}^{2}}}}=\int{\frac{dx}{x}}$

$\Leftrightarrow \int{\frac{d\left[ g(x) \right]}{{{\left[ g(x)+2 \right]}^{2}}}}=\ln \left| x \right|+C\Leftrightarrow \frac{-1}{g(x)+2}=\ln \left| x \right|+C\Leftrightarrow \frac{-1}{xf(x)+2}=\ln \left| x \right|+C$

Do $f(1)=-3$nên $\frac{-1}{-1}=C\Leftrightarrow C=1$. Suy ra $\frac{-1}{ef(e)+2}=2\Leftrightarrow f(e)=\frac{-5}{2e}$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có $f(x)=x\left( \operatorname{s}\text{inx}+f'(x) \right)+\cos x\Leftrightarrow f(x)-xf'(x)=x\sin x+\cos x$

$\Leftrightarrow \frac{f(x)-xf'(x)}{{{x}^{2}}}=\frac{x\sin x+\cos x}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow -{{\left[ \frac{f(x)}{x} \right]}^{\prime }}=-{{\left( \frac{\cos x}{x} \right)}^{\prime }}$

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: $\frac{f(x)}{x}=\frac{\cos x}{x}+C\Rightarrow f(x)=\cos x+Cx$

Khi đó: $\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{f(x)\sin \text{x}dx=}\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{(\sin \text{xcosx+Cxsinx)}dx}=-4\Rightarrow C=2$

Suy ra $f(x)=\cos x+2x\Rightarrow f(\pi )=-1+2\pi \in (5;6)$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

$f'(x).\cos x+f(x).\operatorname{s}\text{inx}=1\Leftrightarrow \frac{f'(x).\cos x+f(x).\operatorname{s}\text{inx}}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\Leftrightarrow {{\left[ \frac{f(x)}{\cos x} \right]}^{\prime }}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}$

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: $\frac{f(x)}{\cos x}=\operatorname{tanx}+C$. Theo giả thiết $f(0)=1\Rightarrow C=1$

Khi đó $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\text{(tanx+1)cosx}dx=}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{(\operatorname{s}\text{inx}+cosx)dx}=\left. (-\cos x+\operatorname{s}\text{inx}) \right|_{0}^{\frac{\pi }{3}}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có $f(x)+\operatorname{tanx}.f'(x)=\frac{x}{{{\cos }^{3}}x}\Leftrightarrow \cos .f(x)+\sin \text{x}f'(x)=\frac{x}{{{\cos }^{2}}x}\Leftrightarrow {{\left[ \operatorname{s}\text{inx}.f(x) \right]}^{\prime }}=\frac{x}{{{\cos }^{2}}x}$

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: $\operatorname{s}\text{inx}.f(x)=\int{\frac{xdx}{{{\cos }^{2}}x}}$

Đặt $\left\{ \begin{array} {} u=x \\ {} dv=\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} du=dx \\ {} v=\tan x \\ \end{array} \right.\Rightarrow \sin x.f(x)=\int{\frac{xdx}{{{\cos }^{2}}x}}=x\tan x-\int{\tan xdx}$

$\Rightarrow \sin x.f(x)=x\tan x+\ln \left| \cos x \right|$

Do đó $\frac{\sqrt{3}f\left( \frac{\pi }{3} \right)-f\left( \frac{\pi }{6} \right)}{2}=\frac{\pi }{3}\sqrt{3}+\ln \frac{1}{2}-\frac{\pi }{6\sqrt{3}}-\ln \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\pi \sqrt{3}}{18}-\ln \sqrt{3}$

Suy ra $\sqrt{3}f\left( \frac{\pi }{3} \right)-f\left( \frac{\pi }{6} \right)=\frac{5\pi \sqrt{3}}{9}-\ln 3\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} a=\frac{5}{9} \\ {} b=-1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow a+b=\frac{-4}{9}$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Xét phương trình ${{\text{e}}^{x}}={{e}^{-x}}\Leftrightarrow {{e}^{x}}=\frac{1}{{{e}^{x}}}\Leftrightarrow {{e}^{x}}=1\Leftrightarrow x=0$

Suy ra trên $\left[ -1;0 \right]\to {{e}^{x}}-{{e}^{-x}}<0\Rightarrow \min \left\{ {{e}^{x}};{{e}^{-x}} \right\}={{e}^{x}}$

Và trên $\left[ 1;3 \right]\to {{e}^{x}}-{{e}^{-x}}>0\Rightarrow \min \left\{ {{e}^{x}};{{e}^{-x}} \right\}={{e}^{-x}}$

Vậy $I=\int\limits_{-1}^{0}{{{e}^{x}}dx+}\int\limits_{0}^{3}{{{e}^{-x}}dx}=2-\frac{2}{e}$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Xét phương trình ${{x}^{3}}=4{{x}^{2}}-3x\Leftrightarrow {{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+3x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=1;x=3 \\ \end{array} \right.$

Suy ra trên $\left[ 0;1 \right]\to {{x}^{3}}-(4{{x}^{2}}-3x)>0\Rightarrow \max \left\{ {{x}^{3}};4{{x}^{2}}-3x \right\}={{x}^{3}}$

Và trên $\left[ 1;3 \right]\to {{x}^{3}}-(4{{x}^{2}}-3x)<0\Rightarrow \max \left\{ {{x}^{3}};4{{x}^{2}}-3x \right\}=4{{x}^{2}}-3x$

Vậy $I=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}dx+}\int\limits_{1}^{3}{(4{{x}^{2}}-3x)dx}=\frac{275}{12}$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Xét phương trình $\operatorname{s}\text{inx}-\cos x=0\Leftrightarrow \sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}$

Suy ra trên $\left[ 0;\frac{\pi }{4} \right]\to \operatorname{s}\text{inx}-\cos x<0\Rightarrow \min \left\{ \operatorname{s}\text{inx;}\cos x \right\}=\operatorname{sinx}$

Và trên $\left[ 0;\frac{\pi }{4} \right]\to \operatorname{s}\text{inx}-\cos x>0\Rightarrow \min \left\{ \operatorname{s}\text{inx;}\cos x \right\}=\cos x$

Vậy $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{s\text{inx}dx+}\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{cosxdx}=2-\sqrt{2}$. Chọn D.