Bài tập tính tích phân đổi biến số với hàm ẩn có đáp án chi tiết. - Tự Học 365

Bài tập tính tích phân đổi biến số với hàm ẩn có đáp án chi tiết.

Bài tập tính tích phân đổi biến số với hàm ẩn có đáp án chi tiết.

Bài tập tính tích phân đổi biến số với hàm ẩn có đáp án.

Phương pháp đổi biến số với hàm ẩn

Chú ý tính chất: $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}dx=\int\limits_{a}^{b}{f\left( t \right)}dt=\int\limits_{a}^{b}{f\left( u \right)}du$ (tích phân không phụ thuộc vào biến).

Bài tập trắc nghiệm tính tích phân đổi biến số với hàm ẩn có Lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int\limits_{0}^{6}{f\left( x \right)}dx=12.$

Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( 3x \right)}dx.$

A. $I=6.$                                       B. $I=36.$                                           C. $I=2.$                                       D. $I=4.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( 3x \right)}dx=\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{2}{f\left( 3x \right)}d\left( 3x \right)\xrightarrow{t=3x}\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{6}{f\left( t \right)}dt=\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{6}{f\left( x \right)}dx=\frac{12}{3}=4.$ Chọn D.

Bài tập 2: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ -1;+\infty  \right)$ và $\int\limits_{0}^{3}{f\left( \sqrt{x+1} \right)}dx=8.$ Tính $I=\int\limits_{1}^{2}{x.f\left( x \right)}dx$

A. $I=2.$                                       B. $I=8.$                                              C. $I=4.$                                       D. $I=16.$

Lời giải chi tiết

Đặt $t=\sqrt{x+1}\Rightarrow {{t}^{2}}=x+1\Rightarrow 2tdt=dx$ và đổi cận $\left\{ \begin{matrix}   x=0\Rightarrow t=1  \\   x=3\Rightarrow t=2  \\\end{matrix} \right..$

Khi đó $I=\int\limits_{0}^{3}{f\left( \sqrt{x+1} \right)dx=2}\int\limits_{1}^{2}{t.f\left( t \right)dt=8}\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{t.f\left( t \right)dt=4\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{x.f\left( x \right)dx=4.}}$ Chọn C.

Bài tập 3: Cho $\int\limits_{4}^{9}{\frac{f\left( \sqrt{x} \right)dx}{\sqrt{x}}=a}$ và $\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)}dx=b$. Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)}dx$ theo ab.

A. $I=\frac{a}{2}+2b.$             B. $I=2a+b.$                                      C. $I=2\left( a+b \right).$      D. $I=\frac{a+b}{2}.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $\int\limits_{4}^{9}{\frac{f\left( \sqrt{x} \right)dx}{\sqrt{x}}=}\int\limits_{4}^{9}{2f\left( \sqrt{x} \right)d}\left( \sqrt{x} \right)\xrightarrow{t=\sqrt{x}}\int\limits_{2}^{3}{2f\left( t \right)dt=a\Rightarrow }\int\limits_{2}^{3}{2f\left( t \right)dt=\frac{a}{2}}$

Do đó $\int\limits_{2}^{3}{2f\left( x \right)dx=\frac{a}{2}}.$

Lại có: $\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)}dx=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)}d\left( 2x \right)\xrightarrow{u=2x}\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{f\left( u \right)}d\left( u \right)=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}dx=b$

Do đó $\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}dx=2b\Rightarrow \int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)}dx=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}dx+\int\limits_{2}^{3}{f\left( x \right)}dx=2b+\frac{a}{2}.$ Chọn A.

Bài tập 4: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{f\left( \sin 3x \right)}.\cos 3xdx=1$ và $\int\limits_{0}^{\ln 2}{{{e}^{x}}.f\left( {{e}^{x}} \right)}dx=3.$

Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}dx.$

A. $I=4.$                                       B. $I=5.$                                              C. $I=2.$                                       D. $I=6.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{f\left( \sin 3x \right).\cos 3xdx=}\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{f\left( \sin 3x \right).d\left( \sin 3x \right)}\xrightarrow{t=\sin 3x}\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right).dt=}\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right).dx=}1$

$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right).dx=}3$

Lại có: $\int\limits_{0}^{\ln 2}{{{e}^{x}}.f\left( {{e}^{x}} \right)}dx=\int\limits_{0}^{\ln 2}{f\left( {{e}^{x}} \right)}d\left( {{e}^{x}} \right)\xrightarrow{u={{e}^{x}}}\int\limits_{1}^{2}{f\left( u \right)}du=\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)}dx=3$

Do đó $I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}dx=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx+\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)}dx=3+3=6.$ Chọn D.

Bài tập 5: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\cot xf}\left( {{\sin }^{2}}x \right)dx=\int\limits_{1}^{16}{\frac{f\left( \sqrt{x} \right)}{x}}dx=1.$

Tính tích phân $I=\int\limits_{\frac{1}{8}}^{1}{\frac{f\left( 4x \right)}{x}}dx.$

A. $I=3.$                                       B. $I=\frac{3}{2}.$                           C. $I=2.$                                       D. $I=\frac{5}{2}.$

Lời giải chi tiết

$A=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\cot xf}\left( {{\sin }^{2}}x \right)dx=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\cos x}{\sin x}f}\left( {{\sin }^{2}}x \right)dx$

Đặt $t={{\sin }^{2}}x\Rightarrow dt=2\sin x\cos xdx,$ đổi cận suy ra $A=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{f\left( t \right)}{2t}dt}=1\Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{f\left( x \right)}{x}}dx=2.$

Mặt khác $B=\int\limits_{1}^{16}{\frac{f\left( \sqrt{x} \right)}{x}}dx=1\xrightarrow{u=\sqrt{x}}\int\limits_{1}^{4}{\frac{f\left( u \right)}{{{u}^{2}}}}2udu\Rightarrow B=2\int\limits_{1}^{4}{\frac{f\left( u \right)}{u}}du=1\Rightarrow \int\limits_{1}^{4}{\frac{f\left( x \right)}{x}}dx=\frac{1}{2}$

Xét $I=\int\limits_{\frac{1}{8}}^{1}{\frac{f\left( 4x \right)}{x}}dx\xrightarrow{v=4x}I=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{4}{\frac{f\left( v \right)}{\frac{v}{4}}}.\frac{dv}{4}=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{4}{\frac{f\left( v \right)}{v}}dv=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{4}{\frac{f\left( x \right)}{x}}dx=A+B=\frac{5}{2}.$ Chọn D.

Bài tập 6: Cho các khẳng định sau:

(1). $\int\limits_{0}^{1}{\sin \left( 1-x \right)dx=}\int\limits_{0}^{1}{\sin xdx}.$                                           (2). $\int\limits_{0}^{\pi }{\sin \frac{x}{2}dx=}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin xdx}.$

(3). $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx=\frac{1}{2}}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( \sin 2x \right)\cos 2xdx}.$                           (4). $\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx=}2\int\limits_{1}^{2}{x.f\left( {{x}^{2}}+1 \right)dx}.$

Số khẳng định đúng là:

A. 1.                                                B. 2.                                                      C. 3.                                                D. 4.

Lời giải chi tiết

Ta có $\int\limits_{0}^{1}{\sin \left( 1-x \right)dx=}-\int\limits_{0}^{1}{\sin \left( 1-x \right)d\left( 1-x \right)}\xrightarrow{t=1-x}-\int\limits_{1}^{0}{\sin tdt=}\int\limits_{0}^{1}{\sin tdt=}\int\limits_{0}^{1}{\sin xdx}.$

$\int\limits_{0}^{\pi }{\sin \frac{x}{2}dx=}2\int\limits_{0}^{\pi }{\sin \frac{x}{2}d\frac{x}{2}=}2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin udu=}2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin xdx}.$

$\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( \sin 2x \right)\cos 2xdx}=\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( \sin 2x \right)d\left( \sin 2x \right)=}\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{f\left( v \right)dv=}\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}.$

$2\int\limits_{1}^{2}{x.f\left( {{x}^{2}}+1 \right)dx}=\int\limits_{1}^{2}{f\left( {{x}^{2}}+1 \right)d\left( {{x}^{2}}+1 \right)}=\int\limits_{1}^{5}{f\left( z \right)dz}=\int\limits_{1}^{5}{f\left( x \right)dx}.$

Số khẳng định đúng là 2. Chọn B.

Bài tập 7: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( \tan x \right)}.dx=a$ và $\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}f\left( x \right)}{{{x}^{2}}+1}}dx=b.$

Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx$ theo ab.

A. $I=a-b.$                                   B. $I=a+b.$                                        C. $I=\frac{a}{b}.$                    D. $I=a+b-1.$

Lời giải chi tiết

Đặt $x=\tan t\Rightarrow dx=\frac{1}{{{\cos }^{2}}t}dt.$ Đổi cận $\left| \begin{matrix}   x=0\Rightarrow t=0  \\   x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{4}  \\\end{matrix} \right.$

Khi đó $\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}f\left( x \right)}{{{x}^{2}}+1}}dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{{{\tan }^{2}}t.f\left( \tan t \right)}{{{\tan }^{2}}t+1}.}\frac{1}{{{\cos }^{2}}t}dt=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\tan }^{2}}t.f\left( \tan t \right)dt=}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\tan }^{2}}x.f\left( \tan x \right)dx=}b$

Suy ra $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( \tan x \right)dx}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\tan }^{2}}x.f\left( \tan x \right)dx=}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right).f\left( \tan x \right)dx}$

$=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{f\left( \tan x \right)dx}{{{\cos }^{2}}x}=}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( \tan x \right)d\left( \tan x \right)=}\int\limits_{0}^{1}{f\left( u \right)du=}\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}.$

Do đó $I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx=a+b.$ Chọn A.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12