Bài tập tính tích phân đổi biến số với hàm ẩn có đáp án chi tiết. - Tự Học 365

Bài tập tính tích phân đổi biến số với hàm ẩn có đáp án chi tiết.

Bài tập tính tích phân đổi biến số với hàm ẩn có đáp án chi tiết.

Bài tập tính tích phân đổi biến số với hàm ẩn có đáp án.

Phương pháp đổi biến số với hàm ẩn

Chú ý tính chất: baf(x)dx=baf(t)dt=baf(u)du (tích phân không phụ thuộc vào biến).

Bài tập trắc nghiệm tính tích phân đổi biến số với hàm ẩn có Lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn 60f(x)dx=12.

Tính tích phân I=20f(3x)dx.

A. I=6.                                       B. I=36.                                           C. I=2.                                       D. I=4.

Lời giải chi tiết

Ta có: I=20f(3x)dx=1320f(3x)d(3x)t=3x1360f(t)dt=1360f(x)dx=123=4. Chọn D.

Bài tập 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên [1;+)30f(x+1)dx=8. Tính I=21x.f(x)dx

A. I=2.                                       B. I=8.                                              C. I=4.                                       D. I=16.

Lời giải chi tiết

Đặt t=x+1t2=x+12tdt=dx và đổi cận {x=0t=1x=3t=2.

Khi đó I=30f(x+1)dx=221t.f(t)dt=821t.f(t)dt=421x.f(x)dx=4. Chọn C.

Bài tập 3: Cho 94f(x)dxx=a10f(2x)dx=b. Tính tích phân I=30f(x)dx theo ab.

A. I=a2+2b.             B. I=2a+b.                                      C. I=2(a+b).      D. I=a+b2.

Lời giải chi tiết

Ta có: 94f(x)dxx=942f(x)d(x)t=x322f(t)dt=a322f(t)dt=a2

Do đó 322f(x)dx=a2.

Lại có: 10f(2x)dx=1210f(2x)d(2x)u=2x1220f(u)d(u)=1220f(x)dx=b

Do đó 20f(x)dx=2b30f(x)dx=20f(x)dx+32f(x)dx=2b+a2. Chọn A.

Bài tập 4: Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn π60f(sin3x).cos3xdx=1ln20ex.f(ex)dx=3.

Tính tích phân I=20f(x)dx.

A. I=4.                                       B. I=5.                                              C. I=2.                                       D. I=6.

Lời giải chi tiết

Ta có: π60f(sin3x).cos3xdx=13π60f(sin3x).d(sin3x)t=sin3x1310f(t).dt=1310f(x).dx=1

10f(x).dx=3

Lại có: ln20ex.f(ex)dx=ln20f(ex)d(ex)u=ex21f(u)du=21f(x)dx=3

Do đó I=20f(x)dx=10f(x)dx+21f(x)dx=3+3=6. Chọn D.

Bài tập 5: Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn π2π4cotxf(sin2x)dx=161f(x)xdx=1.

Tính tích phân I=118f(4x)xdx.

A. I=3.                                       B. I=32.                           C. I=2.                                       D. I=52.

Lời giải chi tiết

A=π2π4cotxf(sin2x)dx=π2π4cosxsinxf(sin2x)dx

Đặt t=sin2xdt=2sinxcosxdx, đổi cận suy ra A=112f(t)2tdt=1112f(x)xdx=2.

Mặt khác B=161f(x)xdx=1u=x41f(u)u22uduB=241f(u)udu=141f(x)xdx=12

Xét I=118f(4x)xdxv=4xI=412f(v)v4.dv4=412f(v)vdv=412f(x)xdx=A+B=52. Chọn D.

Bài tập 6: Cho các khẳng định sau:

(1). 10sin(1x)dx=10sinxdx.                                           (2). π0sinx2dx=π20sinxdx.

(3). 10f(x)dx=12π40f(sin2x)cos2xdx.                           (4). 21f(x)dx=221x.f(x2+1)dx.

Số khẳng định đúng là:

A. 1.                                                B. 2.                                                      C. 3.                                                D. 4.

Lời giải chi tiết

Ta có 10sin(1x)dx=10sin(1x)d(1x)t=1x01sintdt=10sintdt=10sinxdx.

π0sinx2dx=2π0sinx2dx2=2π20sinudu=2π20sinxdx.

12π40f(sin2x)cos2xdx=14π40f(sin2x)d(sin2x)=1410f(v)dv=1410f(x)dx.

221x.f(x2+1)dx=21f(x2+1)d(x2+1)=51f(z)dz=51f(x)dx.

Số khẳng định đúng là 2. Chọn B.

Bài tập 7: Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn π40f(tanx).dx=a10x2f(x)x2+1dx=b.

Tính tích phân I=10f(x)dx theo ab.

A. I=ab.                                   B. I=a+b.                                        C. I=ab.                    D. I=a+b1.

Lời giải chi tiết

Đặt x=tantdx=1cos2tdt. Đổi cận |x=0t=0x=1t=π4

Khi đó 10x2f(x)x2+1dx=π40tan2t.f(tant)tan2t+1.1cos2tdt=π40tan2t.f(tant)dt=π40tan2x.f(tanx)dx=b

Suy ra π40f(tanx)dx+π40tan2x.f(tanx)dx=π40(1+tan2x).f(tanx)dx

=π40f(tanx)dxcos2x=π40f(tanx)d(tanx)=10f(u)du=10f(x)dx.

Do đó I=10f(x)dx=a+b. Chọn A.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12