Chú ý tính chất: b∫af(x)dx=b∫af(t)dt=b∫af(u)du (tích phân không phụ thuộc vào biến).
Bài tập 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn 6∫0f(x)dx=12.
Tính tích phân I=2∫0f(3x)dx. A. I=6. B. I=36. C. I=2. D. I=4. |
Lời giải chi tiết
Ta có: I=2∫0f(3x)dx=132∫0f(3x)d(3x)t=3x→136∫0f(t)dt=136∫0f(x)dx=123=4. Chọn D.
Bài tập 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên [−1;+∞) và 3∫0f(√x+1)dx=8. Tính I=2∫1x.f(x)dx
A. I=2. B. I=8. C. I=4. D. I=16. |
Lời giải chi tiết
Đặt t=√x+1⇒t2=x+1⇒2tdt=dx và đổi cận {x=0⇒t=1x=3⇒t=2.
Khi đó I=3∫0f(√x+1)dx=22∫1t.f(t)dt=8⇒2∫1t.f(t)dt=4⇒2∫1x.f(x)dx=4. Chọn C.
Bài tập 3: Cho 9∫4f(√x)dx√x=a và 1∫0f(2x)dx=b. Tính tích phân I=3∫0f(x)dx theo a và b.
A. I=a2+2b. B. I=2a+b. C. I=2(a+b). D. I=a+b2. |
Lời giải chi tiết
Ta có: 9∫4f(√x)dx√x=9∫42f(√x)d(√x)t=√x→3∫22f(t)dt=a⇒3∫22f(t)dt=a2
Do đó 3∫22f(x)dx=a2.
Lại có: 1∫0f(2x)dx=121∫0f(2x)d(2x)u=2x→122∫0f(u)d(u)=122∫0f(x)dx=b
Do đó 2∫0f(x)dx=2b⇒3∫0f(x)dx=2∫0f(x)dx+3∫2f(x)dx=2b+a2. Chọn A.
Bài tập 4: Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn π6∫0f(sin3x).cos3xdx=1 và ln2∫0ex.f(ex)dx=3.
Tính tích phân I=2∫0f(x)dx. A. I=4. B. I=5. C. I=2. D. I=6. |
Lời giải chi tiết
Ta có: π6∫0f(sin3x).cos3xdx=13π6∫0f(sin3x).d(sin3x)t=sin3x→131∫0f(t).dt=131∫0f(x).dx=1
⇒1∫0f(x).dx=3
Lại có: ln2∫0ex.f(ex)dx=ln2∫0f(ex)d(ex)u=ex→2∫1f(u)du=2∫1f(x)dx=3
Do đó I=2∫0f(x)dx=1∫0f(x)dx+2∫1f(x)dx=3+3=6. Chọn D.
Bài tập 5: Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn π2∫π4cotxf(sin2x)dx=16∫1f(√x)xdx=1.
Tính tích phân I=1∫18f(4x)xdx. A. I=3. B. I=32. C. I=2. D. I=52. |
Lời giải chi tiết
A=π2∫π4cotxf(sin2x)dx=π2∫π4cosxsinxf(sin2x)dx
Đặt t=sin2x⇒dt=2sinxcosxdx, đổi cận suy ra A=1∫12f(t)2tdt=1⇒1∫12f(x)xdx=2.
Mặt khác B=16∫1f(√x)xdx=1u=√x→4∫1f(u)u22udu⇒B=24∫1f(u)udu=1⇒4∫1f(x)xdx=12
Xét I=1∫18f(4x)xdxv=4x→I=4∫12f(v)v4.dv4=4∫12f(v)vdv=4∫12f(x)xdx=A+B=52. Chọn D.
Bài tập 6: Cho các khẳng định sau:
(1). 1∫0sin(1−x)dx=1∫0sinxdx. (2). π∫0sinx2dx=π2∫0sinxdx. (3). 1∫0f(x)dx=12π4∫0f(sin2x)cos2xdx. (4). 2∫1f(x)dx=22∫1x.f(x2+1)dx. Số khẳng định đúng là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. |
Lời giải chi tiết
Ta có 1∫0sin(1−x)dx=−1∫0sin(1−x)d(1−x)t=1−x→−0∫1sintdt=1∫0sintdt=1∫0sinxdx.
π∫0sinx2dx=2π∫0sinx2dx2=2π2∫0sinudu=2π2∫0sinxdx.
12π4∫0f(sin2x)cos2xdx=14π4∫0f(sin2x)d(sin2x)=141∫0f(v)dv=141∫0f(x)dx.
22∫1x.f(x2+1)dx=2∫1f(x2+1)d(x2+1)=5∫1f(z)dz=5∫1f(x)dx.
Số khẳng định đúng là 2. Chọn B.
Bài tập 7: Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn π4∫0f(tanx).dx=a và 1∫0x2f(x)x2+1dx=b.
Tính tích phân I=1∫0f(x)dx theo a và b. A. I=a−b. B. I=a+b. C. I=ab. D. I=a+b−1. |
Lời giải chi tiết
Đặt x=tant⇒dx=1cos2tdt. Đổi cận |x=0⇒t=0x=1⇒t=π4
Khi đó 1∫0x2f(x)x2+1dx=π4∫0tan2t.f(tant)tan2t+1.1cos2tdt=π4∫0tan2t.f(tant)dt=π4∫0tan2x.f(tanx)dx=b
Suy ra π4∫0f(tanx)dx+π4∫0tan2x.f(tanx)dx=π4∫0(1+tan2x).f(tanx)dx
=π4∫0f(tanx)dxcos2x=π4∫0f(tanx)d(tanx)=1∫0f(u)du=1∫0f(x)dx.
Do đó I=1∫0f(x)dx=a+b. Chọn A.
TOÁN LỚP 12