Bài tập tính tích phân áp dụng bất đẳng thức tích phân có đáp án chi tiết - Tự Học 365

Bài tập tính tích phân áp dụng bất đẳng thức tích phân có đáp án chi tiết

Bài tập tính tích phân áp dụng bất đẳng thức tích phân có đáp án chi tiết

Bài tập tính tích phân áp dụng bất đẳng thức tích phân có đáp án

Dưới đây là một số bài tập áp dụng bất đẳng thức để tính tích phân có Lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm, liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ thỏa mãn $f\left( 1 \right)=6$, $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}dx=\frac{5}{2}}$ và $\int\limits_{0}^{1}{x.f\left( x \right)dx=\frac{5}{2}}$ . Tích phân $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$ bằng

A. $\frac{23}{4}$                       B. $\frac{5}{4}$                                C. $\frac{5}{2}$                          D. $\frac{19}{4}$

Lời giải chi tiết

Đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=f\left( x \right) \\  {} dv=xdx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} du={f}'\left( x \right)dx \\  {} v=\frac{{{x}^{2}}}{2} \\ \end{array} \right.$, khi đó $\int\limits_{0}^{1}{x.f\left( x \right)dx=\left. \frac{{{x}^{2}}}{2}.f\left( x \right) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}}{2}.{f}'\left( x \right)dx}}$

Suy ra $\frac{5}{2}=\frac{f\left( 1 \right)}{2}-\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}}{2}.{f}'\left( x \right)dx}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}.{f}'\left( x \right)dx}=1$

Ta chọn k sao cho: $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right)+k{{x}^{2}} \right]}^{2}}dx=\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}dx+2k\int\limits_{0}^{1}{{f}'\left( x \right){{x}^{2}}dx+{{k}^{2}}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}dx}}}}=0$

$=5+2k+\frac{{{k}^{2}}}{2}=0\Rightarrow k=-5\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right)-5{{x}^{2}} \right]}^{2}}dx=0\Rightarrow {f}'\left( x \right)=5{{x}^{2}}}\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{5{{x}^{3}}}{3}+C$

Do $f\left( 1 \right)=6\Rightarrow C=\frac{13}{3}\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{5{{x}^{3}}}{3}+\frac{13}{3}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\frac{19}{4}$. Chọn D.

Bài tập 2: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm, liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ thỏa mãn $f\left( 1 \right)=1$, $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}dx=\frac{9}{5}}$ và $\int\limits_{0}^{1}{x.f\left( x \right)dx=\frac{1}{5}}$ . Tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$ bằng

A. $I=\frac{3}{5}$.                    B. $I=\frac{1}{4}$.                           C. $I=\frac{3}{4}$.                     D. $I=\frac{1}{5}$.

Lời giải chi tiết

Đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=f\left( x \right) \\  {} dv=xdx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} du={f}'\left( x \right)dx \\  {} v=\frac{{{x}^{2}}}{2} \\ \end{array} \right.$

Do đó $\int\limits_{0}^{1}{x.f\left( x \right)dx=\left. \frac{{{x}^{2}}}{2}.f\left( x \right) \right|_{0}^{1}-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}.{f}'\left( x \right)dx}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)dx}=\frac{1}{5}$

Suy ra $\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}.{f}'\left( x \right)dx}=\frac{3}{5};\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}}dx=\frac{1}{5}$

Chọn k sao cho: $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right)+k{{x}^{2}} \right]}^{2}}dx=\frac{9}{5}+\frac{6k}{5}+\frac{{{k}^{2}}}{5}=0\Rightarrow k=-3}$

Như vậy $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right)-3{{x}^{2}} \right]}^{2}}dx=0\Rightarrow {f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}+C$

Do $f\left( 1 \right)=1\Rightarrow C=0\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}dx}=\frac{1}{4}$. Chọn B.

Bài tập 3: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm, liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ thỏa mãn $f\left( 1 \right)=\frac{3}{5}$, $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}dx=\frac{4}{9}}$ và $\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}f\left( x \right)dx=\frac{37}{180}}$ . Tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{\left[ f\left( x \right)-1 \right]}dx$ bằng

A. $\frac{1}{15}$.                      B. $-\frac{1}{15}$.                           C. $-\frac{1}{10}$.                     D. $\frac{1}{10}$.

Lời giải chi tiết

Đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=f\left( x \right) \\  {} dv={{x}^{3}}dx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} du=f'\left( x \right)dx \\  {} v=\frac{{{x}^{4}}}{4} \\ \end{array} \right.$

Do đó $\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}f\left( x \right)dx=\left. \frac{{{x}^{4}}}{4}.f\left( x \right) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{4}}}{4}.{f}'\left( x \right)dx}}=\frac{3}{20}-\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{4}}{f}'\left( x \right)}{4}dx}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}{f}'\left( x \right)dx}=-\frac{2}{9}$

Lại có: $\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{8}}dx}=\frac{1}{9}$ ta chọn k sao cho: $\int\limits_{0}^{1}{\left[ {f}'\left( x \right)+k{{x}^{4}} \right]dx=\frac{4}{9}+2k.\frac{-2}{9}+\frac{{{k}^{2}}}{9}=0\Rightarrow k=2}$

Như vậy $\int\limits_{0}^{1}{\left[ {f}'\left( x \right)+2{{x}^{4}} \right]dx=0\Rightarrow {f}'\left( x \right)=-2{{x}^{4}}}\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{-2{{x}^{5}}}{5}+C$

Do $f\left( 1 \right)=\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{3}{5}=\frac{-2}{5}+C\Leftrightarrow C=1\Leftrightarrow f\left( x \right)-1=\frac{-2}{5}{{x}^{5}}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{\left[ f\left( x \right)-1 \right]dx}=\frac{-1}{15}$. Chọn B.

Bài tập 4: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm, liên tục trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$ thỏa mãn $f\left( 3 \right)=1$, $\int\limits_{0}^{3}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}dx=\frac{1}{27}}$ và $\int\limits_{0}^{3}{{{x}^{3}}f\left( x \right)dx=\frac{42}{5}}$ . Tích phân $I=\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)dx}$ bằng

A. $\frac{5}{2}$.                        B. $\frac{3}{2}$.                               C. $\frac{7}{2}$.                         D. $4$.

Lời giải chi tiết

Đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=f\left( x \right) \\  {} dv={{x}^{3}}dx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} du=f'\left( x \right)dx \\  {} v=\frac{{{x}^{4}}}{4} \\ \end{array} \right.$khi đó $\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}f\left( x \right)dx=\left. \frac{{{x}^{4}}}{4}.f\left( x \right) \right|_{0}^{3}-\int\limits_{0}^{3}{\frac{{{x}^{4}}}{4}{f}'\left( x \right)dx}}$

Suy ra $\frac{45}{2}=\frac{81f\left( 3 \right)}{4}-\int\limits_{0}^{3}{\frac{{{x}^{4}}}{4}.{f}'\left( x \right)dx}\Rightarrow \int\limits_{0}^{3}{{{x}^{4}}}{f}'\left( x \right)dx=-9$

Ta chọn k sao cho: $\int\limits_{0}^{3}{{{\left[ {f}'\left( x \right)+k{{x}^{4}} \right]}^{2}}dx=\int\limits_{0}^{3}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}dx+2k\int\limits_{0}^{3}{{f}'\left( x \right){{x}^{4}}dx+{{k}^{2}}\int\limits_{0}^{3}{{{x}^{8}}dx}}}}$

$=\frac{1}{27}-2.9k+2187{{k}^{2}}=0\Rightarrow k=\frac{1}{243}\Rightarrow {f}'\left( x \right)=-\frac{1}{243}{{x}^{4}}\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{-{{x}^{5}}}{1215}+\frac{6}{5}\Rightarrow \int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)dx=}\frac{7}{2}$. Chọn C.

Bài tập 5: [Đề tham khảo Bộ Giáo Dục và Đào Tạo 2018] Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm, liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ thỏa mãn $f\left( 1 \right)=0$, $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}dx=7}$ và $\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}f\left( x \right)dx=\frac{1}{3}}$ . Tích phân $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$ bằng

A. $\frac{7}{5}$.                        B. $1$.                                                  C. $\frac{7}{4}$.                         D. $4$.

Lời giải chi tiết

Đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=f\left( x \right) \\  {} dv=3{{x}^{2}}dx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} du{=}'\left( x \right)dx \\  {} v={{x}^{3}} \\ \end{array} \right.$, khi đó $\int\limits_{0}^{1}{3{{x}^{2}}f\left( x \right)dx=\left. {{x}^{3}}.f\left( x \right) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}.{f}'\left( x \right)dx}}$

Suy ra $I=f\left( 1 \right)-\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}.{f}'\left( x \right)dx\Rightarrow }\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}.{f}'\left( x \right)dx=-1\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{14{{x}^{3}}.{f}'\left( x \right)dx=-7}}$. Mà $\int\limits_{0}^{1}{49{{x}^{6}}}dx=7$ suy ra  $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}dx+\int\limits_{0}^{1}{7{{x}^{3}}}{f}'\left( x \right)dx+\int\limits_{0}^{1}{49{{x}^{6}}dx}=0}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right)+7{{x}^{3}} \right]}^{2}}dx}=0$

Vậy ${f}'\left( x \right)+7{{x}^{3}}=0\Rightarrow f\left( x \right)=-\frac{7}{4}{{x}^{4}}+C$

Mà lại có: $f\left( 1 \right)=0\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{7}{4}\left( 1-{{x}^{4}} \right)\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\frac{7}{5}$. Chọn A.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12