Bài tập tính góc Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng chứa đường cao có đáp án chi tiết

Bài tập tính góc Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng chứa đường cao có đáp án

Phương pháp tính nhanh góc giữa cạnh bên và mặt phẳng chứa đường cao

Tìm góc giữa cạnh bên SB và mặt phẳng (SHA) với $\left( SHA \right)\bot \left( ABH \right).$

Dựng $BK\bot AH$, có $BK\bot SH\Rightarrow BK\bot \left( SHA \right).$

Suy ra K là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng (SAH).

Vậy $\widehat{\left( SB;\left( SAH \right) \right)}=\widehat{\left( SB;SK \right)}=\widehat{BSK}.$

Bài tập tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng chứa đường cao

Lời giải chi tiết

Do $SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow \widehat{\left( SC;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SCA}=60{}^\circ .$

Lại có: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=2a\Rightarrow SA=AC\tan 60{}^\circ =2a\sqrt{3}.$

Khi đó $\left\{ \begin{array}  {} SB=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=a\sqrt{13} \\  {} SD=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}=a\sqrt{15} \\  {} SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=4a. \\ \end{array} \right.$

Do $\left\{ \begin{array}  {} CB\bot SA \\  {} CB\bot AB \\ \end{array} \right.\Rightarrow CB\bot \left( SAB \right)\Rightarrow \widehat{\left( SC;\left( SAB \right) \right)}=\widehat{CSB}.$

Mặt khác $\cos \widehat{CSB}=\frac{SB}{SC}=\frac{\sqrt{13}}{4}.$

Tương tự $CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow \widehat{\left( SC;\left( SAD \right) \right)}=\widehat{CSD}$ và $\cos \widehat{SCD}=\frac{SD}{SC}=\frac{\sqrt{15}}{4}.$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $AC\bot BD$ tại O. Khi đó $OA=OC,OB=OD.$

Xét tam giác vuông OAB ta có: $\sin \widehat{OAB}=\frac{OB}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{OAB}=60{}^\circ \Rightarrow \Delta ABC$ đều cạnh a.

Mặt khác $SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow \widehat{\left( SC;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SCA}=60{}^\circ .$

Suy ra $SA=AC\tan 60{}^\circ =a\sqrt{3}.$

Dựng $CH\bot AB\Rightarrow CH\bot \left( SAB \right)\Rightarrow \widehat{\left( SC;\left( SAB \right) \right)}=\widehat{CSH}.$

Do $\Delta ABC$ đều cạnh a nên H là trung điểm của AB.

Ta có: $CH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \tan \widehat{CSH}=\frac{CH}{SH}$ trong đó $SH=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\frac{a\sqrt{13}}{2}.$

Do đó $\tan \widehat{CSH}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{39}}{13}.$

b) Ta có: $\left\{ \begin{array}  {} DO\bot AC \\  {} DO\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left( \widehat{SD;\left( SAC \right)} \right)=\widehat{DSO}$ và $\tan \widehat{DSO}=\frac{OD}{SO}.$

Trong đó $OD=\frac{a\sqrt{3}}{2};SO=\sqrt{S{{A}^{2}}+O{{A}^{2}}}=\frac{a\sqrt{13}}{2}\Rightarrow \tan \widehat{DSO}=\frac{\sqrt{39}}{13}.$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $AH=1,HB=2\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} SA=\sqrt{S{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\sqrt{5} \\  {} SB=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}}=2\sqrt{2} \\ \end{array} \right.$

Dựng $AE\bot DH\Rightarrow AE\bot \left( SHD \right)\Rightarrow \widehat{\left( SA;\left( SHD \right) \right)}\text{=}\widehat{\text{ASE}}$

Mặt khác $AE=\frac{AH.AD}{\sqrt{A{{H}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\frac{6}{\sqrt{37}}$

Suy ra $\tan \widehat{\text{ASE}}=\frac{AE}{SA}=\frac{6}{\sqrt{185}}.$

b) Dựng $BF\bot HC\Rightarrow BF\bot \left( SHC \right).$

Khi đó $\widehat{\left( SB;\left( SHC \right) \right)}\text{=}\widehat{BSF}$, $BF=\frac{BH.BC}{\sqrt{B{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}}=\frac{3\sqrt{10}}{5}.$

Ta có: $\tan \widehat{\left( SB;\left( SHC \right) \right)}=\tan \widehat{BSF}=\frac{BF}{SB}=\frac{3\sqrt{5}}{10}.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=4a\Rightarrow OA=2a=OC.$

Do ${A}'O\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow \widehat{\left( {A}'O;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{{A}'AO}=60{}^\circ .$

$\Rightarrow {A}'O=OA\tan 60{}^\circ =2a\sqrt{3}$

Dựng $CH\bot BD\Rightarrow CH\bot \left( {A}'BD \right)$

$\Rightarrow \widehat{\left( {A}'C;\left( {A}'BD \right) \right)}=\widehat{C{A}'H}.$

Ta có: $CH=\frac{BC.CD}{\sqrt{B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}}}=a\sqrt{3}.$

${A}'C=\sqrt{O{{{{A}'}}^{2}}+O{{C}^{2}}}=\sqrt{12{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=4a.$

Suy ra $\cos \widehat{C{A}'H}=\frac{{A}'H}{{A}'C}=\frac{\sqrt{{A}'{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}}}{{A}'C}=\frac{\sqrt{16{{a}^{2}}-3{{a}^{2}}}}{4a}=\frac{\sqrt{13}}{4}.$

Lời giải chi tiết

Dựng $CH\bot AB\Rightarrow CH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Do $\left\{ \begin{array}  {} CH\bot AB \\  {} CH\bot A{A}' \\ \end{array} \right.\Rightarrow CH\bot \left( AB{B}'{A}' \right)\Rightarrow \widehat{\left( {A}'C;\left( AB{B}'{A}' \right) \right)}=\widehat{C{A}'H}.$

Lại có: ${A}'H=\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{2}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{4}.$

Do đó $\tan \widehat{C{A}'H}=\frac{CH}{{A}'H}=1\Rightarrow \widehat{C{A}'H}=45{}^\circ .$

Vậy $\widehat{\left( {A}'C;\left( AB{B}'{A}' \right) \right)}=\widehat{C{A}'H}=45{}^\circ .$