Tìm góc giữa cạnh bên SB và mặt phẳng (SHA) với (SHA)⊥(ABH).
Dựng BK⊥AH, có BK⊥SH⇒BK⊥(SHA).
Suy ra K là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng (SAH).
Vậy ^(SB;(SAH))=^(SB;SK)=^BSK.
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB=a,AD=a√3,SA⊥(ABCD).
Biết SC tạo với đáy một góc 60∘. Tính cosin góc tạo bởi: a) SC và mặt phẳng (SAB); SC và mặt phẳng (SAD). b) SD và mặt phẳng (SAC). |
Lời giải chi tiết
Do SA⊥(ABCD)⇒^(SC;(ABCD))=^SCA=60∘.
Lại có: AC=√AB2+AD2=2a⇒SA=ACtan60∘=2a√3.
Khi đó {SB=√SA2+AB2=a√13SD=√SA2+AD2=a√15SC=√SA2+AC2=4a.
Do {CB⊥SACB⊥AB⇒CB⊥(SAB)⇒^(SC;(SAB))=^CSB.
Mặt khác cos^CSB=SBSC=√134.
Tương tự CD⊥(SAD)⇒^(SC;(SAD))=^CSD và cos^SCD=SDSC=√154.
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, BD=a√3,SA⊥(ABCD).
Biết SC tạo với đáy một góc 60∘. Tính tan góc tạo bởi: a) SC và mặt phẳng (SAB). b) SD và mặt phẳng (SAC). |
Lời giải chi tiết
a) Ta có: AC⊥BD tại O. Khi đó OA=OC,OB=OD.
Xét tam giác vuông OAB ta có: sin^OAB=OBAB=√32
⇒^OAB=60∘⇒ΔABC đều cạnh a.
Mặt khác SA⊥(ABCD)⇒^(SC;(ABCD))=^SCA=60∘.
Suy ra SA=ACtan60∘=a√3.
Dựng CH⊥AB⇒CH⊥(SAB)⇒^(SC;(SAB))=^CSH.
Do ΔABC đều cạnh a nên H là trung điểm của AB.
Ta có: CH=a√32⇒tan^CSH=CHSH trong đó SH=√SA2+AH2=a√132.
Do đó tan^CSH=√3√13=√3913.
b) Ta có: {DO⊥ACDO⊥SA⇒(^SD;(SAC))=^DSO và tan^DSO=ODSO.
Trong đó OD=a√32;SO=√SA2+OA2=a√132⇒tan^DSO=√3913.
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt đáy là điểm H thuộc cạnh AB sao cho →HB=−2→HA. Biết AB=3,AD=6 và SH=2. Tính tan góc tạo bởi:
a) SA và mặt phẳng (SHD). b) SB và mặt phẳng (SHC). |
Lời giải chi tiết
a) Ta có: AH=1,HB=2⇒{SA=√SH2+AH2=√5SB=√SH2+HB2=2√2
Dựng AE⊥DH⇒AE⊥(SHD)⇒^(SA;(SHD))=^ASE
Mặt khác AE=AH.AD√AH2+AD2=6√37
Suy ra tan^ASE=AESA=6√185.
b) Dựng BF⊥HC⇒BF⊥(SHC).
Khi đó ^(SB;(SHC))=^BSF, BF=BH.BC√BH2+BC2=3√105.
Ta có: tan^(SB;(SHC))=tan^BSF=BFSB=3√510.
Bài tập 4: Cho hình lăng trụ ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình chữ nhật cóAB=2a,AD=2a√3, hình chiếu vuông góc của A′ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm O của hình chữ nhật ABCD, biết cạnh bên AA′ tạo với đáy một góc 60∘. Tính cosin góc tạo với A′C và mặt phẳng (A′BD). |
Lời giải chi tiết
Ta có: AC=√AB2+BC2=4a⇒OA=2a=OC.
Do A′O⊥(ABCD)⇒^(A′O;(ABCD))=^A′AO=60∘.
⇒A′O=OAtan60∘=2a√3
Dựng CH⊥BD⇒CH⊥(A′BD)
⇒^(A′C;(A′BD))=^CA′H.
Ta có: CH=BC.CD√BC2+CD2=a√3.
A′C=√OA′2+OC2=√12a2+4a2=4a.
Suy ra cos^CA′H=A′HA′C=√A′C2−HC2A′C=√16a2−3a24a=√134.
Bài tập 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a. Tính góc tạo bởi A′C và mặt phẳng (ABB′A′) biết AA′=a√22. |
Lời giải chi tiết
Dựng CH⊥AB⇒CH=a√32.
Do {CH⊥ABCH⊥AA′⇒CH⊥(ABB′A′)⇒^(A′C;(ABB′A′))=^CA′H.
Lại có: A′H=√AA′2+AH2=√a22+(a2)2=a√34.
Do đó tan^CA′H=CHA′H=1⇒^CA′H=45∘.
Vậy ^(A′C;(ABB′A′))=^CA′H=45∘.
TOÁN LỚP 12