Bài tập tính Góc giữa cạnh bên và mặt bên có đáp án chi tiết

Bài tập tính Góc giữa cạnh bên và mặt bên có đáp án chi tiết

Phương pháp xác định góc

Tính góc giữa cạnh bên SC và mặt phẳng (SAB). Đặt $\widehat{\left( SC;\left( SAB \right) \right)}=\varphi \left( 0{}^\circ \le \varphi \le 90{}^\circ  \right).$

Ta có công thức: $\sin \varphi =\frac{d\left( C;\left( SAB \right) \right)}{SC}.$

Từ đó suy ra các giá trị $\cos \varphi $ hoặc $\tan \varphi $ nếu đề bài yêu cầu.

Bài tập về góc trong không gian có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của AD ta có: $SH\bot AD$

Lại có: $\left( SAD \right)\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right).$

Ta có: $HA=a;HB=\sqrt{H{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=a\sqrt{3}$

Do $SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow \widehat{\left( SB;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SBH}=30{}^\circ $

Suy ra $SH=HB\tan 30{}^\circ =a.$

a) Do $AD//BC\Rightarrow AD//\left( SBC \right).$

Do vậy $d\left( A;\left( SBC \right) \right)=d\left( H;\left( SBC \right) \right).$

Dựng $\left\{ \begin{array}  {} HE\bot BC \\  {} HF\bot SE \\ \end{array} \right.$ tacó: $BC\bot HF$ từ đó suy ra $HF\bot \left( SBC \right)$

$\Rightarrow d\left( H;\left( SBC \right) \right)=HF=d\left( A;\left( SBC \right) \right).$ Ta có: $SA=\sqrt{S{{H}^{2}}+S{{A}^{2}}}=a\sqrt{2}=SD.$

Mặt khác: $\frac{1}{H{{F}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{E}^{2}}}\Rightarrow HF=\frac{a\sqrt{6}}{3}\Rightarrow \sin \widehat{\left( SA;\left( SBC \right) \right)}=\frac{d\left( A;\left( SBC \right) \right)}{SA}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$

b) Dựng $HN\bot AC\Rightarrow AC\bot \left( SHN \right)$, dựng $HI\bot SN\Rightarrow HI\bot \left( SAC \right)$

Do $\frac{DA}{HA}=2=\frac{d\left( D;\left( SAC \right) \right)}{d\left( H;\left( SAC \right) \right)}\Rightarrow d\left( D;\left( SAC \right) \right)=2d\left( H;\left( SAC \right) \right)=2HI$

Dựng $DM\bot AC\Rightarrow DM=\frac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\Rightarrow HN=\frac{a}{\sqrt{3}}\Rightarrow HI=\frac{HN.SH}{\sqrt{H{{N}^{2}}+S{{H}^{2}}}}=\frac{a}{2}\Rightarrow d\left( D;\left( SAC \right) \right)=a.$

Ta có: $\sin \widehat{\left( SD;\left( SAC \right) \right)}=\frac{d\left( D;\left( SAC \right) \right)}{SD}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Lời giải chi tiết

Gọi O là trung điểm của BD ta có: $SO\bot BC$ mặt khác $\left( SBD \right)\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SO\bot \left( ABC \right)$

Ta có: $BD=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=2a\Rightarrow SO=\frac{1}{2}BD=a.$

Dựng $OE\bot BC,OF\bot SE\Rightarrow OF\bot \left( SBC \right).$

$d\left( D;\left( SBC \right) \right)=2d\left( O;\left( SBC \right) \right)=2HF$

Ta có: $HE=\frac{1}{2}AB=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow OF=\frac{SH.OE}{\sqrt{S{{H}^{2}}+O{{E}^{2}}}}=a\sqrt{\frac{3}{7}}=\frac{a\sqrt{21}}{7}$

Suy ra $d\left( A;\left( SBC \right) \right)=\frac{2a\sqrt{21}}{7}.$ Mặt khác $SA=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}=a\sqrt{2}.$

Do đó $\sin \widehat{\left( SA;\left( SBC \right) \right)}=\frac{d\left( A;\left( SBC \right) \right)}{SA}=\frac{\sqrt{42}}{7}.$

Lời giải chi tiết

Dựng $HE\bot AC$ và $HF\bot {A}'E$

Ta có: $\left\{ \begin{array}  {} AC\bot {A}'H \\  {} AC\bot HE \\ \end{array} \right.\Rightarrow AC\bot HF\Rightarrow HF\bot \left( A{A}'C \right).$

Khi đó $d\left( H;\left( {A}'AC \right) \right)=HF.$

Lại có $BC=2HC$ nên $d\left( B;\left( A{A}'C \right) \right)=2d\left( H;\left( A{A}'C \right) \right).$

Mặt khác ME là đường trung bình trong tam giác ABC

nên $ME=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}.$ Khi đó: $HF=\frac{HE.{A}'M}{\sqrt{H{{E}^{2}}+{A}'{{M}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{2}}{3}$

Suy ra $d\left( B;\left( A{A}'C \right) \right)=\frac{2a\sqrt{2}}{3};BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2a.$

Lại có ${A}'B=\sqrt{{A}'{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}}=a\sqrt{3}.$

Suy ra $\sin \widehat{\left( {A}'B;\left( {A}'AC \right) \right)}=\sin \varphi =\frac{d\left( B;\left( {A}'AC \right) \right)}{B{A}'}=\frac{2\sqrt{6}}{9}\Rightarrow \cos \varphi =\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\varphi }=\frac{\sqrt{57}}{9}.$