Tính góc giữa cạnh bên SC và mặt phẳng (SAB). Đặt ^(SC;(SAB))=φ(0∘≤φ≤90∘).
Ta có công thức: sinφ=d(C;(SAB))SC.
Từ đó suy ra các giá trị cosφ hoặc tanφ nếu đề bài yêu cầu.
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AD=2a,AB=a√2. Tam giác SAD cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng SB tạo với đáy một góc 30∘. Tính sin góc tạo bởi:
a) SA và mặt phẳng (SBC). b) SD và mặt phẳng (SAC). |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm của AD ta có: SH⊥AD
Lại có: (SAD)⊥(ABCD)⇒SH⊥(ABCD).
Ta có: HA=a;HB=√HA2+AB2=a√3
Do SH⊥(ABCD)⇒^(SB;(ABCD))=^SBH=30∘
Suy ra SH=HBtan30∘=a.
a) Do AD//BC⇒AD//(SBC).
Do vậy d(A;(SBC))=d(H;(SBC)).
Dựng {HE⊥BCHF⊥SE tacó: BC⊥HF từ đó suy ra HF⊥(SBC)
⇒d(H;(SBC))=HF=d(A;(SBC)). Ta có: SA=√SH2+SA2=a√2=SD.
Mặt khác: 1HF2=1SH2+1HE2⇒HF=a√63⇒sin^(SA;(SBC))=d(A;(SBC))SA=√33.
b) Dựng HN⊥AC⇒AC⊥(SHN), dựng HI⊥SN⇒HI⊥(SAC)
Do DAHA=2=d(D;(SAC))d(H;(SAC))⇒d(D;(SAC))=2d(H;(SAC))=2HI
Dựng DM⊥AC⇒DM=2a√2√6⇒HN=a√3⇒HI=HN.SH√HN2+SH2=a2⇒d(D;(SAC))=a.
Ta có: sin^(SD;(SAC))=d(D;(SAC))SD=aa√2=1√2.
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB=a√3;AD=a, tam giác SBD là tam giác vuông cân đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính sin góc tạo bởi SA và mặt phẳng (SBC). |
Lời giải chi tiết
Gọi O là trung điểm của BD ta có: SO⊥BC mặt khác (SBD)⊥(ABC)⇒SO⊥(ABC)
Ta có: BD=√AB2+AD2=2a⇒SO=12BD=a.
Dựng OE⊥BC,OF⊥SE⇒OF⊥(SBC).
d(D;(SBC))=2d(O;(SBC))=2HF
Ta có: HE=12AB=a√32
⇒OF=SH.OE√SH2+OE2=a√37=a√217
Suy ra d(A;(SBC))=2a√217. Mặt khác SA=√SO2+OA2=a√2.
Do đó sin^(SA;(SBC))=d(A;(SBC))SA=√427.
Bài tập 3: Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác vuông tại A với AB=a;AC=a√3, hình chiếu vuông góc của A′ lên mặt đáy trùng với trung điểm H của BC. Biết A′H=a√2. Tính cosin góc tạo bởi A′B với mặt phẳng (ACC′A′). |
Lời giải chi tiết
Dựng HE⊥AC và HF⊥A′E
Ta có: {AC⊥A′HAC⊥HE⇒AC⊥HF⇒HF⊥(AA′C).
Khi đó d(H;(A′AC))=HF.
Lại có BC=2HC nên d(B;(AA′C))=2d(H;(AA′C)).
Mặt khác ME là đường trung bình trong tam giác ABC
nên ME=AB2=a2. Khi đó: HF=HE.A′M√HE2+A′M2=a√23
Suy ra d(B;(AA′C))=2a√23;BC=√AB2+AC2=2a.
Lại có A′B=√A′H2+HB2=a√3.
Suy ra sin^(A′B;(A′AC))=sinφ=d(B;(A′AC))BA′=2√69⇒cosφ=√1−sin2φ=√579.
TOÁN LỚP 12