Bài tập Tính đơn điệu và cực trị của hàm số lũy thừa, mũ, logarit có đáp án chi tiết

Bài tập Tính đơn điệu và cực trị của hàm số lũy thừa, mũ, logarit có đáp án

Một số bài tập trắc nghiệm tìm cực trị mũ logarit có đáp án như: Hàm số mũ e có bao nhiêu cực trị

Lời giải chi tiết:

Do $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3}>1$ nên hàm số $y={{\left( \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3} \right)}^{x}}$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$

Hàm số $y={{\left( \frac{e}{\pi } \right)}^{x}}$ và $y={{2}^{-x}}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}.$

Hàm số $y={{\log }_{2}}x$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty  \right).$ Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\left\{ \begin{array}  {} {{a}^{\frac{\sqrt{3}}{3}}}>{{a}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}} \\  {} \frac{\sqrt{3}}{3}<\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{array} \right.\Rightarrow 0<a<1,$ lại có: $\left\{ \begin{array}  {} {{\log }_{b}}\frac{3}{4}<{{\log }_{b}}\frac{4}{5} \\  {} \frac{3}{4}<\frac{4}{5} \\ \end{array} \right.\Rightarrow b>1.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\left\{ \begin{array}  {} {{a}^{\frac{15}{8}}}<{{a}^{\frac{19}{11}}} \\  {} \frac{15}{8}>\frac{19}{11} \\ \end{array} \right.\Rightarrow 0<a<1,$ lại có: $\left\{ \begin{array}  {} {{\log }_{b}}\frac{\sqrt{3}}{2}>{{\log }_{b}}\frac{\sqrt{5}}{3} \\  {} \frac{\sqrt{3}}{2}>\frac{\sqrt{5}}{3} \\ \end{array} \right.\Rightarrow b>1.$ Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\left\{ \begin{array}  {} {{\left( a-1 \right)}^{\frac{-3}{4}}}>{{\left( a-1 \right)}^{\frac{-4}{5}}} \\  {} \frac{-3}{4}>\frac{-4}{5} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left( a-1 \right)>1\Leftrightarrow a>2.$

Mặt khác $\sqrt{{{b}^{3}}}>\sqrt[3]{{{b}^{2}}}\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{b}^{\frac{3}{2}}}>{{b}^{\frac{2}{3}}} \\  {} \frac{3}{2}>\frac{2}{3} \\ \end{array} \right.\Rightarrow b>1.$ Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow 3a-{{a}^{2}}+1>1\Leftrightarrow 3a-{{a}^{2}}>0\Leftrightarrow 0<a<3.$ Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y={{\log }_{0,5}}\left( -{{x}^{2}}+x \right)$ có TXĐ là: $\left( 0;1 \right)$

Mặt khác $y'=\frac{-2x+1}{\left( -{{x}^{2}}+x \right)\ln \frac{1}{2}}<0\Leftrightarrow -2x+1>0\Leftrightarrow x<\frac{1}{2}$ (Do $\ln \frac{1}{2}<0).$

Do đó hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\frac{1}{2} \right).$ Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y'={{\left( \frac{3}{4} \right)}^{{{x}^{2}}-2x+2}}.\ln \frac{3}{4}.\left( 2x-2 \right)>0\Leftrightarrow 2x-2<0\Leftrightarrow x<1$ (Do $\ln \frac{3}{4}<0)$

Do đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( 1;+\infty  \right).$ Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y'=\left( 2x-2 \right){{e}^{x}}+\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right){{e}^{x}}={{x}^{2}}{{e}^{x}}\ge 0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$

Do đó hàm số cho đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty  \right).$ Chọn A.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D=\left( -1;+\infty  \right),$ ta có: $f'\left( x \right)=1-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}$

Do $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm $x=0$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu của hàm số đã cho. Chọn C.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $x\in \left( 0;+\infty  \right).$

Ta có: $f'\left( x \right)=2x\ln x+{{x}^{2}}.\frac{1}{x}=x\left( 2\ln x+1 \right)=0\Rightarrow \ln x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt{e}}.$

Do $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm $x=\frac{1}{\sqrt{e}}$ nên $x=\frac{1}{\sqrt{e}}$ là điểm cực tiểu của hàm số. Chọn B.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D=\mathbb{R}$ ta có: ${{y}^{'}}=\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}-m=\frac{-m{{x}^{2}}+2x-m}{{{x}^{2}}+1}$

Với $m=0\Rightarrow {{y}^{'}}=\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow $hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0\text{;+}\infty  \right)$.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( -\infty \text{;+}\infty  \right)\Leftrightarrow -m{{x}^{2}}+2x-m\ge 0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=m>0 \\  {} \Delta '=1-{{m}^{2}}\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left( -\infty \text{;-1} \right]$. Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Ta có $y'={{\left[ {{\left( \frac{4}{2017} \right)}^{{{e}^{3x}}-\left( m-1 \right){{e}^{x}}+1}} \right]}^{\prime }}=\ln \frac{4}{2017}.{{\left( \frac{4}{2017} \right)}^{{{e}^{3x}}-\left( m-1 \right){{e}^{x}}+1}}.\left[ 3{{e}^{3x}}-\left( m-1 \right){{e}^{x}} \right]$

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1;2 \right)\Leftrightarrow {y}'\ge 0\Leftrightarrow 3{{e}^{3x}}-\left( m-1 \right){{e}^{x}}\le 0\left( \forall x\in \left( 1;2 \right) \right)$

$\Leftrightarrow 3{{e}^{2x}}-m+1\le 0\Leftrightarrow m\ge 3{{e}^{2x}}+1=f\left( x \right)\left( \forall x\in \left( 1;2 \right) \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( 1;2 \right)}{\mathop{Max}}\,f\left( x \right)$

Lại có: $f'\left( x \right)-6{{e}^{2x}}>0\left( \forall x\in \left( 1;2 \right) \right)\Rightarrow \underset{\left( 1;2 \right)}{\mathop{Max}}\,f\left( x \right)-f\left( 2 \right)-3{{e}^{4}}+1.$

Vậy $m\ge 3{{e}^{4}}+1.$ Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Ta có $y'={{\left( {{4}^{x}}-{{2}^{x+2}}-mx+1 \right)}^{\prime }}={{4}^{x}}\ln 4-{{4.2}^{x}}\ln 2-m.$

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -1;1 \right)$ khi và chỉ khi ${y}'\ge 0$ với $\forall x\in \left( -1;1 \right).$

Suy ra ${{4}^{x}}\ln 4-{{4.2}^{x}}\ln 2-m\ge 0\left( \forall x\in \left( -1;1 \right) \right)\xrightarrow{t={{2}^{x}}}m\le {{t}^{2}}\ln 4-4t\ln 2=f\left( t \right)\left( \forall t\in \left( \frac{1}{2};2 \right) \right)$

Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}\ln 4-4t\ln 2,t\in \left( \frac{1}{2};2 \right)\Rightarrow {f}'\left( t \right)=2t\ln 4-4\ln 2\Rightarrow {f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=1.$

Xét bảng biến thiên hàm số $f\left( t \right)$ trên khoảng $\left( \frac{1}{2};2 \right),$ suy ra $\underset{\left( \frac{1}{2};2 \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=f\left( 1 \right)=-2\ln 2$

Do đó $m\le \underset{\left( \frac{1}{2};1 \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)\Leftrightarrow m\le -2\ln 2$ là giá trị cần tìm. Chọn C. 

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số $y=\frac{{{e}^{x}}-m-2}{{{e}^{x}}-{{m}^{2}}}$ trên khoảng $\left( \ln \frac{1}{4};0 \right),$ ta có $y'=\frac{\left( 2+m-{{m}^{2}} \right).{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}-{{m}^{2}} \right)}^{2}}};\forall x\in \left( \ln \frac{1}{4};0 \right).$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} y'>0;\forall x\in \left( \ln \frac{1}{4};0 \right) \\  {} {{m}^{2}}\ne {{e}^{x}};\forall x\in \left( \ln \frac{1}{4};0 \right) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 2+m-{{m}^{2}}>0 \\  {} \left[ \begin{array}  {} {{m}^{2}}\ge 1 \\  {} {{m}^{2}}\le \frac{1}{4} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} -\frac{1}{2}\le m\le \frac{1}{2} \\  {} 1\le m<2 \\ \end{array} \right..$ Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số $y=\ln \left( 3x-1 \right)-\frac{m}{x}+2$ trên khoảng $\left( \frac{1}{2};+\infty  \right),$ ta có $y'=\frac{3}{3x-1}+\frac{m}{{{x}^{2}}}=\frac{3{{x}^{2}}+m\left( 3x-1 \right)}{{{x}^{2}}\left( 3x-1 \right)}.$

Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( \frac{1}{2};+\infty  \right)\Leftrightarrow y'\ge 0;\forall x\in \left( \frac{1}{2};+\infty  \right)$

$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+m\left( 3x-1 \right)\ge 0\Leftrightarrow \frac{3{{x}^{2}}}{3x-1}+m\ge 0\Leftrightarrow m\ge \frac{3{{x}^{2}}}{1-3x};\forall x\in \left( \frac{1}{2};+\infty  \right)\Rightarrow m\ge \underset{\left( \frac{1}{2};+\infty  \right)}{\mathop{\max }}\,\left\{ \frac{3{{x}^{2}}}{1-3x} \right\}\left( 1 \right).$

Xét hàm số $f\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}}{1-3x}$ trên $\left( \frac{1}{2};+\infty  \right),$ có $f'\left( x \right)=\frac{3x\left( 3x-2 \right)}{{{\left( 3x-1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}.$

Tính các giá trị $f\left( \frac{1}{2} \right)=-\frac{3}{2};f\left( \frac{2}{3} \right)=-\frac{4}{3};\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty $ suy ra $\underset{\left( \frac{1}{2};+\infty  \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=-\frac{4}{3}\left( 2 \right).$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ suy ra $m\ge -\frac{4}{3}\Rightarrow m\in \left[ -\frac{4}{3};+\infty  \right)$ là giá trị cần tìm. Chọn C.