Bài tập Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số lũy thừa, mũ, logarit có đáp án chi tiết

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số lũy thừa, mũ, logarit có đáp án

Một số câu trắc nghiệm tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức logarit có Lời giải chi tiết

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y'=\frac{\ln x-1}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=e$

Lại có: $y\left( 1 \right)=0;y\left( e \right)=\frac{1}{e}\Rightarrow $ Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{\ln x}{x}$ trên $\left[ 1;e \right]$ là 0. Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y'={{e}^{-2{{x}^{2}}}}-4{{x}^{2}}.{{e}^{-2{{x}^{2}}}}=0\Leftrightarrow {{e}^{-2{{x}^{2}}}}\left( 1-4{{x}^{2}} \right)$

Với $x\in \left[ 0;1 \right]\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}.$ Ta có: $y\left( 0 \right)=0;y\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2\sqrt{e}};y\left( 1 \right)=\frac{1}{{{e}^{2}}}$

Do đó $M=\frac{1}{2\sqrt{e}}.$ Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y'=2x-\frac{2}{x}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=1\xrightarrow{x\in \left[ \frac{1}{e};e \right]}x=1$

Lại có: $y\left( \frac{1}{e} \right)=\frac{1}{{{e}^{2}}}+2;y\left( 1 \right)=1;y\left( e \right)={{e}^{2}}-2$

Do đó $\underset{\left[ \frac{1}{e};e \right]}{\mathop{Max}}\,y={{e}^{2}}-2;\underset{\left[ \frac{1}{e};e \right]}{\mathop{Min}}\,y=1\Rightarrow T={{e}^{2}}-1.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y'=x{{e}^{x}}+{{e}^{x}}-2{{e}^{x}}=x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}=0\Leftrightarrow x=1.$

Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$

Lại có: $y\left( 0 \right)=-2;y\left( 1 \right)=-e;y\left( 3 \right)={{e}^{3}}.$ Do đó $\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-e;\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }}\,y={{e}^{3}}$

Vậy $T={{e}^{3}}-e.$ Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y={{2}^{2x}}-{{2.2}^{x}}.$ Đặt $t={{2}^{x}}\Rightarrow t\in \left[ {{2}^{-1}};{{2}^{1}} \right]=\left[ \frac{1}{2};2 \right]$

Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}-2t$ trên đoạn $\left[ \frac{1}{2};2 \right]$ ta có: $f'\left( t \right)=2t-2=0\Leftrightarrow t=1$

Hàm số $f\left( t \right)$ xác định và liên tục trên đoạn $\left[ \frac{1}{2};2 \right].$

Lại có $f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{-3}{4};f\left( 1 \right)=-1;f\left( 2 \right)=0.$ Do đó $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-1;\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }}\,y=0.$ Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y'=\ln x+1=0\Leftrightarrow x={{e}^{-1}}=\frac{1}{e}.$ Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn $\left[ \frac{1}{{{e}^{2}}};e \right].$

Mặt khác $y\left( \frac{1}{{{e}^{2}}} \right)=\frac{-2}{{{e}^{2}}};y\left( \frac{1}{e} \right)=\frac{-1}{e};y\left( e \right)=e.$ Do đó $\underset{\left[ \frac{1}{{{e}^{2}}};e \right]}{\mathop{\min }}\,y=-\frac{1}{e};\underset{\left[ \frac{1}{{{e}^{2}}};e \right]}{\mathop{\max }}\,y=e$

Do đó $T=e-\frac{1}{e}.$ Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y'=\frac{1-\ln x}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=e.$ Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn $\left[ \frac{1}{e};{{e}^{2}} \right].$

Lại có $y\left( \frac{1}{e} \right)=-e;y\left( e \right)=\frac{1}{e};y\left( {{e}^{2}} \right)=\frac{2}{{{e}^{2}}}.$ Do đó $\underset{\left[ \frac{1}{e};{{e}^{2}} \right]}{\mathop{\min }}\,y=-e;\underset{\left[ \frac{1}{e};{{e}^{2}} \right]}{\mathop{\max }}\,y=\frac{1}{e}$

Do đó $T=\frac{1}{e}-e.$ Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $f'\left( x \right)={{e}^{-{{x}^{2}}+2x}}.\left( -2x+2 \right)-3{{x}^{2}}+3=\left( 1-x \right)\left( 2{{e}^{-{{x}^{2}}+2x}}+x+1 \right)$

Xét $x\in \left[ 0;2 \right]$ thì $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1$

Mặt khác $f\left( 0 \right)=1;f\left( 1 \right)=e+2;f\left( 2 \right)=-1$ suy ra $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{Max}}\,f\left( x \right)=e+2$ và $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{Min}}\,f\left( x \right)=-1.$ Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số $v\left( t \right)=e+{{e}^{{{t}^{2}}-2t}}\left( m/s \right)$ với $t\in \left[ 0;10 \right]$

Ta có: $v'\left( t \right)=\left( 2t-2 \right){{e}^{{{t}^{2}}-2t}}=0\Leftrightarrow t=1$

Khi đó $v\left( 0 \right)=e+1;v\left( 1 \right)=e+\frac{1}{e};v\left( 10 \right)=e+{{e}^{80}}\Rightarrow {{v}_{\min }}=e+\frac{1}{e}.$ Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Đặt $t={{e}^{x}},$ với $x\in \left[ 0;\ln 3 \right]\Rightarrow t\in \left[ 1;3 \right]$

Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}-3t-1$ trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$ ta có: $f'\left( t \right)=2t-3=0\Leftrightarrow t=\frac{3}{2}$

Mặt khác $f\left( 1 \right)=-3;f\left( \frac{3}{2} \right)=\frac{-13}{4};f\left( 3 \right)=-1\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{Max}}\,f\left( t \right)=-1 \\ & \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{Min}}\,f\left( t \right)=\frac{-13}{4} \\ \end{align} \right.\Rightarrow T=\frac{-17}{4}.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Ta có $f\left( x \right)={{3}^{2{{\sin }^{2}}x}}+{{3}^{{{\cos }^{2}}x}}={{3}^{2{{\sin }^{2}}x}}+{{3}^{1-{{\sin }^{2}}x}}=3={{\left( 3{{\sin }^{2}}x \right)}^{2}}+\frac{3}{{{3}^{{{\sin }^{2}}x}}}$

Đặt $t={{3}^{{{\sin }^{2}}x}}$ do $0\le {{\sin }^{2}}x\le 1\Rightarrow 1\le {{3}^{{{\sin }^{2}}x}}\le 3\Rightarrow t\in \left[ 1;3 \right]$ khi đó ${{\left( {{3}^{{{\sin }^{2}}x}} \right)}^{2}}+\frac{3}{{{3}^{{{\sin }^{2}}x}}}={{t}^{2}}+\frac{3}{t}$

Xét hàm số $g\left( t \right)={{t}^{2}}+\frac{3}{t}$ với $t\in \left[ 1;3 \right].$ Ta có $g'\left( t \right)=2t-\frac{3}{{{t}^{2}}};g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$

Ta có $f\left( 1 \right)=4;f\left( 3 \right)=10;f\left( \sqrt[3]{\frac{3}{2}} \right)=\sqrt[3]{\frac{243}{4}}\Rightarrow M=10;m=\sqrt[3]{\frac{243}{4}}\Rightarrow P=\frac{32}{3}.$ Chọn D.