Bài tập áp dụng công thức, thể tích mặt trụ, hình trụ, khối trụ có đáp án chi tiết

Bài tập áp dụng công thức, thể tích mặt trụ, hình trụ, khối trụ có đáp án chi tiết

Bài tập trắc nghiệm công thức, thể tích mặt trụ, khố trụ có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

Ta có ${{S}_{xq}}=4\pi {{a}^{2}}=2\pi Rh\xrightarrow{{}}Rh=2{{a}^{2}}$ mà $R=a\Rightarrow {{a}^{2}}h=2{{a}^{2}}\Leftrightarrow h=2a$

Vậy độ dài đường sinh của hình trụ là $l=h=2a.$Chọn A.

Lời giải chi tiết

Diện tích xung quanh của hình trụ là ${{S}_{xq}}=2\pi Rh$

Diện tích toàn phần của hình trụ là ${{S}_{tp}}=2\pi Rh+2\pi {{R}^{2}}$

Theo bài ra, ta có ${{S}_{tp}}=2{{S}_{xq}}\Leftrightarrow 2\pi Rh+2\pi {{R}^{2}}=2.2\pi Rh\Leftrightarrow 2\pi {{R}^{2}}=2\pi Rh\Leftrightarrow R=h.$Chọn B.

Lời giải chi tiết

Diện tích toàn phần của hình trụ là ${{S}_{tp}}=2\pi Rh+2\pi {{R}^{2}}$

Mặt khác $R=a,{{S}_{tp}}=4\pi {{a}^{2}}$suy ra $4\pi {{a}^{2}}=2\pi ah+2\pi {{a}^{2}}\xrightarrow[{}]{}h=a$

Vậy thể tích khối trụ là $V=\pi {{R}^{2}}h=\pi .{{a}^{2}}.a=\pi {{a}^{3}}.$Chọn C.

Lời giải chi tiết

Khoảng cách giữa hai đáy của hình trụ chính là chiều cao $h\xrightarrow[{}]{}h=a$

Thể tích khối trụ là $V=\pi {{R}^{2}}h=4\pi {{a}^{3}}$ mà $h=a\Rightarrow {{R}^{2}}=4{{a}^{2}}\Leftrightarrow R=2a$

Vậy diện tích toàn phần của hình trụ là ${{S}_{tp}}=2\pi Rh+2\pi {{R}^{2}}=12\pi {{a}^{2}}.$ Chọn D.

Lời giải chi tiết

Diện tích xung quanh của hình trụ là ${{S}_{xq}}=2\pi Rh=4\pi \xrightarrow{{}}Rh=2$

Diện tích toàn phần của hình trụ là ${{S}_{tp}}=2\pi Rh+2\pi {{R}^{2}}=12\pi \xrightarrow{{}}Rh+{{R}^{2}}=6$

Khi đó, ta có hệ $\left\{ \begin{array}  {} Rh=2 \\  {} Rh+{{R}^{2}}=6 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} Rh=2 \\  {} {{R}^{2}}=4 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} R=2 \\  {} h=1 \\ \end{array} \right..$

Vậy thể tích khối trụ đã cho là $V=\pi {{R}^{2}}h=\pi {{.2}^{2}}.1=4\pi .$ Chọn B.

Lời giải chi tiết

Diện tích toàn phần của hình trụ là ${{S}_{tp}}=2\pi Rh+2\pi {{R}^{2}}=16\pi \xrightarrow{{}}Rh+{{R}^{2}}=8$

Thể tích của khối trụ là $V=\pi {{R}^{2}}h=8\pi \xrightarrow{{}}{{R}^{2}}h=8$

Khi đó, ta có hệ $\left\{ \begin{array}  {} Rh+{{R}^{2}}=8 \\  {} {{R}^{2}}h=8 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} h=\frac{8}{{{R}^{2}}} \\  {} R.\frac{8}{{{R}^{2}}}+{{R}^{2}}=8 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} h=\frac{8}{{{R}^{2}}} \\  {} {{R}^{2}}+\frac{8}{R}=8 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow h=R=2.$

Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là ${{S}_{xq}}=2\pi Rh=8\pi .$ Chọn C.

Lời giải chi tiết

Kỹ năng vẽ hình: Hình chữ nhật quay quanh cạnh nào thì cạnh đó là trục, đồng thời chính là chiều cao của hình trụ

Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh trục AB, ta được hình trụ có chiều cao $h=AB=a,$ bán kính đáy $R=AD=2a$

Vậy thể tích của khối trụ là $V=\pi {{R}^{2}}h=\pi .4{{a}^{2}}.a=4\pi {{a}^{3}}.$Chọn A.

Lời giải chi tiết

Tam giác ABC vuông tại B, có $\widehat{ACB}={{45}^{0}}\Rightarrow AB=BC$

Ta có $A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}\Leftrightarrow 2A{{B}^{2}}=8{{a}^{2}}\Leftrightarrow AB=BC=2a$

Quay hình chữ nhật ABCD quanh MN ta được hình trụ có chiều cao $h=MN=BC=2a,$ bán kính đáy $R=MB=\frac{AB}{2}=a$

Vậy diện tích toàn phần là ${{S}_{tp}}=2\pi Rh+2\pi {{R}^{2}}=6\pi {{a}^{3}}$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Công thức thể tích khối trụ là $V=\pi {{R}^{2}}h$

•    Ở cách 1, suy ra $h=50$ và $2\pi {{R}_{1}}=240\Leftrightarrow {{R}_{1}}=\frac{120}{\pi }.$ Do đó ${{V}_{1}}=\pi .{{\left( \frac{120}{\pi } \right)}^{2}}.50$ (đvtt).
•    Ở cách 2, suy ra mỗi thùng có $h=50$ và $2\pi {{R}_{2}}=120\Leftrightarrow {{R}_{2}}=\frac{60}{\pi }.$

Do đó ${{V}_{2}}=2\times \left[ \pi .{{\left( \frac{60}{\pi } \right)}^{2}}.50 \right]$ (đvtt). Suy ra $\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=2.$ Chọn C.

Lời giải chi tiết

Thể tích của phần chứa nước ban đầu là ${{V}_{1}}=\pi .{{\left( 5,4 \right)}^{2}}.4,5=\frac{6561\pi }{50}\left( c{{m}^{3}} \right)$

Gọi R là bán kính của viên billiards Þ Thể tích viên billiards là ${{V}_{2}}=\frac{4\pi {{R}^{3}}}{3}\left( c{{m}^{3}} \right)$

Tổng thể tích của nước và bi là $V=\pi .{{\left( 5,4 \right)}^{2}}.2\text{R}=\frac{1458\pi R}{25}\left( c{{m}^{3}} \right)$

Khi đó, ta có $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}\Leftrightarrow \frac{1458\pi R}{25}=\frac{6561\pi }{50}+\frac{4\pi {{R}^{3}}}{3}$

Giải phương trình với điều kiện $0<R<4,5\xrightarrow{{}}R=2,7\text{ cm}\text{.}$Chọn A.

Lời giải chi tiết

Tổng diện tích xung quanh của 8 cây cột đó là

${{S}_{xq}}=2.\left( 2\pi .\frac{0,4}{2}.4,2 \right)+6.\left( 2\pi .\frac{0,26}{2}.4,2 \right)=9,912\pi c{{m}^{2}}$

Vậy số tiền cần phải chi là $T=380\text{ }000.{{S}_{xq}}\approx 11\text{ }833\text{ }000$ đồng. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Thể tích của khối trụ là ${{V}_{1}}=\pi {{r}^{2}}h=\pi .6,{{6}^{2}}.13,2=1806,39c{{m}^{3}}$

Thể tích khối cầu chứa cát là ${{V}_{2}}=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi .{{\left( \frac{13,2-2}{2} \right)}^{3}}=735,62c{{m}^{3}}$

Vậy lượng thủy tinh cần phải làm là $V={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=1070,77c{{m}^{3}}.$ Chọn B.

Lời giải chi tiết

Gọi O là trọng tâm tam giác $ABC\Rightarrow SO\bot \left( ABC \right)$

Gọi M là trung điểm $AB\Rightarrow OM\bot AB\Rightarrow AB\bot \left( SMO \right)$

Khi đó $\left( \widehat{\left( SAB \right);\left( ABC \right)} \right)=\left( \widehat{SM;OM} \right)=\widehat{SMO}={{60}^{0}}$

Tam giác ABC đều có $AB=a\Rightarrow OC=\frac{a\sqrt{3}}{3};OM=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

Tam giác SMO vuông tại O, có $SO=OM.tan{{60}^{\circ }}=\frac{a}{2}$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC là $R=OC=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Vậy diện tích xung quanh hình trụ là ${{S}_{xq}}=2\pi Rh=2\pi .\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a}{2}=\frac{\sqrt{3}\pi {{a}^{2}}}{3}.$ Chọn C.

Lời giải chi tiết

Gọi O là tâm hình vuông ABCD $\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$

Ta có $\left( \widehat{SA;\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{SA;OA} \right)=\widehat{SAO}={{30}^{\circ }}$

Tam giác SAO vuông tại O, có $SO=OA.\tan {{30}^{\circ }}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD là $R=\frac{AB}{2}=1$

Vậy diện tích toàn phần cần tính là

${{S}_{{}}}=2\pi Rh+2\pi {{R}^{2}}=2\pi .1.\frac{\sqrt{6}}{3}+2\pi {{.1}^{2}}\approx 11,413.$ Chọn B.

Lời giải chi tiết

Gọi R, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao hình trụ

Thể tích khối trụ là $V=\pi {{R}^{2}}h=1000\xrightarrow{{}}h=\frac{1000}{\pi {{R}^{2}}}$

Yêu cầu bài toán tương đương với “ diện tích toàn phần nhỏ nhất”

Ta có ${{S}_{tp}}=2\pi Rh+2\pi {{R}^{2}}=2\pi {{R}^{2}}+2\pi R.\frac{1000}{\pi {{R}^{2}}}=2\pi {{R}^{2}}+\frac{2000}{R}\xrightarrow{{}}f\left( R \right)$

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( R \right)=2\pi {{R}^{2}}+\frac{2000}{R}$

• Cách 1. Khảo sát hàm số, với R > 0

• Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được

$2\pi {{R}^{2}}+\frac{2000}{R}=2\pi {{R}^{2}}+\frac{1000}{R}+\frac{1000}{R}\ge 3\sqrt[3]{2\pi {{R}^{2}}.\frac{1000}{R}.\frac{1000}{R}}=3\sqrt[3]{2\pi .{{\left( 1000 \right)}^{2}}}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2\pi {{R}^{2}}=\frac{1000}{R}\Leftrightarrow R=\sqrt[3]{\frac{500}{\pi }}\text{ }cm.$ Chọn D.