Trong Công viên Toán học có những mảnh đất hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp nhất trong toán học. Ở đó có mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemniscate có phương trình trong hệ tọa độ $Oxy$ là \(16{y^2} = {x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)\) như hình vẽ bên. Tính diện tích $S$ của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ $Oxy$ tương ứng với chiều dài $1$ mét
Phương pháp giải
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ liên tục, trục hoành và 2 đường thẳng $x = a$ và $x = b$ là:
${\rm{S}} = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|} d{\rm{x}}$
Lời giải của Tự Học 365
Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là $x = 0;x = 5;x = - 5$
Ta thấy diện tích mảnh đất Bernoulli bao gồm diện tích $4$ mảnh đất nhỏ bằng nhau.
Xét diện tích $S$ mảnh đất nhỏ trong góc phần tư thứ nhất ta có
$\begin{array}{l}4y = x\sqrt {25 - {x^2}} ;x \in \left[ {0;5} \right] \\ \Rightarrow S = \dfrac{1}{4}\int\limits_0^5 {x\sqrt {25 - {x^2}} } d{\rm{x}} = \dfrac{{125}}{{12}}\\ \Rightarrow S = 4.\dfrac{{125}}{{12}} = \dfrac{{125}}{3}\left( {{m^2}} \right)\end{array}$
Đáp án cần chọn là: d
Toán Lớp 12
