Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \((\alpha ):2x + y - 2z - 2 = 0,\) đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{2} = \dfrac{{z + 3}}{2}\) và điểm \(A\left( {\dfrac{1}{2};\,\,1;\,\,1} \right).\) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng nằm trong mặt phẳng \((\alpha ),\) song song với \(d\) đồng thời cách \(d\) một khoảng bằng \(3.\) Đường thẳng \(\Delta \) cắt mặt phẳng \((Oxy)\) tại điểm \(B.\) Độ dài đoạn thẳng \(AB\) bằng
Phương pháp giải
+) Kiểm tra \(d \subset \left( \alpha \right)\)
+) Gọi $B = \Delta \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow B\left( {a;b;0} \right) \Rightarrow B \in \left( \alpha \right),$ thay tọa độ điểm B vào phương trình \(\left( \alpha \right) \Rightarrow \) 1 phương trình 2 ẩn a, b.
+) $d//\Delta \Rightarrow d\left( {\left( d \right);\left( \Delta \right)} \right) = d\left( {B;\left( d \right)} \right) = 3.$ Sử dụng công thức tính khoảng cách $d\left( {B;\left( d \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BM} ;{{\vec u}_d}} \right]} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_d}} \right|}}$ , lập được 1 phương trình 2 ẩn chứa a, b.
+) Giải hệ phương trình tìm a, b \( \Rightarrow \) Tọa độ điểm B \( \Rightarrow \) Độ dài AB.
Lời giải của Tự Học 365
Dễ thấy $d//\left( \alpha \right)$ và $\left( { - \,1; - \,2; - \,3} \right) \in \left( \alpha \right)$$ \Rightarrow \,\,d \subset \left( \alpha \right).$
Ta có $B = \Delta \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow B\left( {a;b;0} \right)$ mà $B \in \Delta \subset \left( \alpha \right)$$ \Rightarrow \,\,2a + b - 2 = 0 \Rightarrow b = 2 - 2a$
Lại có $d$//$\Delta $$ \Rightarrow \,\,d\left( {\left( d \right);\left( \Delta \right)} \right) = d\left( {B;\left( d \right)} \right) = 3.$ Đường thẳng $d$ đi qua $M\left( {0;0; - \,1} \right),$ có ${\vec u_d} = \left( {1;2;2} \right).$
\(\overrightarrow {BM} = \left( { - a; - b; - 1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BM} ;\overrightarrow u } \right] = \left( { - 2b + 2; - 1 + 2a; - 2a + b} \right)\)
Do đó
$\begin{array}{l}d\left( {B;\left( d \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BM} ;{{\vec u}_d}} \right]} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_d}} \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {2b - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2a} \right)}^2} + {{\left( {2a - b} \right)}^2}} }}{3} = 3\\ \Leftrightarrow {\left( {2b - 2} \right)^2} + {\left( {1 - 2a} \right)^2} + {\left( {2a - b} \right)^2} = 81 \Leftrightarrow {\left( {2 - 4a} \right)^2} + {\left( {1 - 2a} \right)^2} + {\left( {4a - 2} \right)^2} = 81\\ \Leftrightarrow {\left( {1 - 2a} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - 2a = 3\\1 - 2a = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 1\\a = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 4\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 1;4;0} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {2; - 2;0} \right)\end{array} \right.\end{array}$
Vậy $AB = \dfrac{7}{2}.$
Đáp án cần chọn là: b
Toán Lớp 12
