Lời giải của Tự Học 365

Gọi $M\left( {x;y;z} \right)$$ \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AM}  = \left( {x - 10;y - 6;z + 2} \right);\,\,\overrightarrow {BM}  = \left( {x - 5;y - 10;z + 9} \right)$

Gọi $H,\,\,K$ lần lượt là hình chiếu của $A,\,\,B$ lên $\left( \alpha  \right),$ có $\widehat {AMH} = \widehat {BMK}.$

\(AH = d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.10 + 2.6 - 2 - 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = 6;\,\,BK = d\left( {B;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.5 + 2.10 - 9 - 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = 3\)

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}\sin \widehat {AMH} = \dfrac{{AH}}{{MA}}\\\sin \widehat {BMK} = \dfrac{{BK}}{{MB}}\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{MA}} = \dfrac{{BK}}{{MB}} \Rightarrow MA = 2\,MB \Leftrightarrow M{A^2} = 4M{B^2}.$

Suy ra ${\left( {x - 10} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4\left[ {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + {{\left( {y - 10} \right)}^2} + {{\left( {z + 9} \right)}^2}} \right]$

$ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - \dfrac{{20}}{3}x - \dfrac{{68}}{3}y + \dfrac{{68}}{3}z + 228 = 0 \Leftrightarrow \left( S \right):{\left( {x - \dfrac{{10}}{3}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{{34}}{3}} \right)^2} + {\left( {z + \dfrac{{34}}{3}} \right)^2} = 40$ có tâm \(I\left( {\dfrac{{10}}{3};\dfrac{{34}}{3};\dfrac{{ - 34}}{3}} \right)\).

Vậy $M \in \left( C \right)$ là giao tuyến của $\left( \alpha  \right)$ và $\left( S \right) \Rightarrow $ Tâm K của \(\left( C \right)\) là hình chiếu của \(I\left( {\dfrac{{10}}{3};\dfrac{{34}}{3};\dfrac{{ - 34}}{3}} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Phương trình đường thẳng đi qua I à vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\) có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{10}}{3} + 2t\\y = \dfrac{{34}}{3} + 2t\\z =  - \dfrac{{34}}{3} + t\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow K\left( {\dfrac{{10}}{3} + 2t;\dfrac{{34}}{3} + 2t; - \dfrac{{34}}{3} + t} \right),\,\,K \in \left( \alpha  \right) \Rightarrow 2\left( {\dfrac{{10}}{3} + 2t} \right) + 2\left( {\dfrac{{34}}{3} + 2t} \right) + \left( { - \dfrac{{34}}{3} + t} \right) - 12 = 0\\ \Leftrightarrow 9t + 6 = 0 \Leftrightarrow t =  - \dfrac{2}{3} \Rightarrow K\left( {2;10; - 12} \right) \Rightarrow {x_K} = 2\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: b