Lời giải của Tự Học 365

Cách 1: Chọn hệ trục tọa độ với $A'\left( {0;0;0} \right)$

$\begin{array}{l}B'\left( {1;0;0} \right);D'\left( {0;1;0} \right);A\left( {0;0;1} \right),\,\,C\left( {1;1;1} \right);\,\,C'\left( {1;1;0} \right);\,\,\\B\left( {1;0;1} \right);\,\,D\left( {0;1;1} \right)\end{array}$

Ta có: $M\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};1} \right);N\left( {1;\dfrac{1}{2};0} \right)$

Khi đó $\overrightarrow {B'D'}  = \left( { - 1;1;0} \right);\overrightarrow {MN}  = \left( {\dfrac{1}{2};0; - 1} \right)$

Suy ra $\left[ {\overrightarrow {B'D'} ;\overrightarrow {MN} } \right] = \left( { - 1; - 1;\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)$

\(\overrightarrow {NB'}  = \left( {0;\dfrac{1}{2};0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {B'D'} ;\overrightarrow {MN} } \right].\overrightarrow {NB'}  =  - \dfrac{1}{2}\)

\( \Rightarrow d\left( {MN;B'D'} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {B'D'} ;\overrightarrow {MN} } \right].\overrightarrow {NB'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {B'D'} ;\overrightarrow {MN} } \right]} \right|}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}}}{{\dfrac{3}{2}}} = \dfrac{1}{3}\)

Cách 2: Gọi P là trung điểm của $C'D'$ suy ra $d = d\left( {O;\left( {MNP} \right)} \right)$

Dựng $OE \bot NP;\;OF \bot ME \Rightarrow d = OF = \dfrac{{MO.OE}}{{\sqrt {M{O^2} + O{E^2}} }}$ trong đó $MO = a;OE = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow d = \dfrac{a}{3}.$

Đáp án cần chọn là: d