Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB = 3,BC = 4,AC = 5\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\) biết rằng cắc mặt bên tạo với đáy một góc \({30^0}\) và hình chiếu vuông góc của \(S\) trên \(\left( {ABC} \right)\) nằm trong tam giác \(ABC\)
Phương pháp giải
Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy góc bằng nhau có hình chiếu của đỉnh trùng với tâm đường tròn nội tiếp đáy.
Lời giải của Tự Học 365
Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC \Rightarrow SI \bot \left( {ABC} \right)\)
Dễ thấy \(\Delta ABC\) vuông tại \(B \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}BA.BC = \dfrac{1}{2}.3.4 = 6\), nửa chu vi \(\Delta ABC:\,\,p = \dfrac{{3 + 4 + 5}}{2} = 6\)
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) trên cạnh \(AB\) ta có
\(S = p.r \Rightarrow r = \dfrac{S}{p} = 1\), với $r$ là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC \Rightarrow IH = 1\).
\(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot IH\\AB \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow AB \bot SH \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SH;IH} \right)} = \widehat {SHI} = {30^0}\)
Xét tam giác vuông \(SHI\) có \(SI = HI.\tan 30 = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)
Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SI.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}.6 = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\)
Đáp án cần chọn là: b
Toán Lớp 12
