Cho các số phức \({z_1};{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = 3;\,\,\left| {{z_2}} \right| = 4\) và chúng được biểu diễn trong mặt phẳng phức lần lượt là các điểm M, N. Biết góc giữa vector \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {ON} \) bằng \(60^0\). Tìm môđun của số phức \(z = \dfrac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_1} - {z_2}}}\) ?
Phương pháp giải
\(\left| z \right| = \dfrac{{\left| {{z_1} + {z_2}} \right|}}{{\left| {{z_1} - {z_2}} \right|}} = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {ON} } \right|}} = \dfrac{{2\left| {\overrightarrow {OI} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|}} = \dfrac{{2OI}}{{MN}}\)(với I là trung điểm của MN).
Sử dụng các công thức của định lí cosin trong tam giác và công thức tính độ dài đường trung tuyến.
Lời giải của Tự Học 365
Ta có \(OM = 3;\,\,ON = 4\) ; \(\widehat {\left( {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {ON} } \right)} = {60^0} \Rightarrow \widehat {\left( {OM;ON} \right)} = {60^0}\).
\(\left| z \right| = \dfrac{{\left| {{z_1} + {z_2}} \right|}}{{\left| {{z_1} - {z_2}} \right|}} = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {ON} } \right|}} = \dfrac{{2\left| {\overrightarrow {OI} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|}} = \dfrac{{2OI}}{{MN}}\) (với I là trung điểm của MN).
Áp dụng định lí cosin trong tam giác OMN có \(MN = \sqrt {O{M^2} + O{N^2} - 2OM.ON.\cos \left( {OM;ON} \right)} = \sqrt {13} \)
OI là đường trung tuyến của tam giác OMN \( \Rightarrow OI = \sqrt {\dfrac{{O{M^2} + O{N^2}}}{2} - \dfrac{{M{N^2}}}{4}} = \dfrac{{\sqrt {37} }}{2}\)
Vậy \(\left| z \right| = \dfrac{{2.\dfrac{{\sqrt {37} }}{2}}}{{\sqrt {13} }} = \dfrac{{\sqrt {481} }}{{13}}\).
Đáp án cần chọn là: c
Toán Lớp 12
