Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{\sqrt {2x + 8} - 2}}{{\sqrt {x + 2} }}}&{{\rm{khi}}}&{x > - 2}\\0&{{\rm{khi}}}&{x = - 2}\end{array}} \right.$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
$\left( I \right)$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = 0$.
$\left( {II} \right)$ $f\left( x \right)$ liên tục tại $x = - 2$.
$\left( {III} \right)$ $f\left( x \right)$ gián đoạn tại $x = - 2$.
Phương pháp giải
Xét tính đúng sai của từng mệnh đề, chú ý điều kiện liên tục của hàm số tại \({x_0}\) là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
Lời giải của Tự Học 365
Hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên nửa khoảng $\left[ { - 2; + \infty } \right)$.
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \dfrac{{\sqrt {2x + 8} - 2}}{{\sqrt {x + 2} }}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \dfrac{{2x + 8 - 4}}{{\sqrt {x + 2} \left( {\sqrt {2x + 8} + 4} \right)}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \dfrac{{2\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {2x + 8} + 4}} = 0$
Khẳng định $\left( I \right)$ đúng.
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = 0$, theo định nghĩa hàm số liên tục trên một đoạn thì hàm số liên tục tại $x = - 2$. Khẳng định $\left( {II} \right)$ đúng, khẳng định $\left( {III} \right)$ sai.
Đáp án cần chọn là: c
Toán Lớp 12
