Cho các số dương \(x\), \(y\), \(z\) thỏa mãn \(xyz = 1\). Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(P = \dfrac{{\sqrt {1 + {x^3} + {y^3}} }}{{xy}} + \dfrac{{\sqrt {1 + {y^3} + {z^3}} }}{{yz}} + \dfrac{{\sqrt {1 + {z^3} + {x^3}} }}{{zx}}\) là
Phương pháp giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho từng biểu thức trong căn.
Lời giải của Tự Học 365
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có: \(1 + {x^3} + {y^3} \ge 3xy\)\( \Rightarrow \dfrac{{\sqrt {1 + {x^3} + {y^3}} }}{{xy}} \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {xy} }}\) \( = \sqrt {3z} \).
Tương tự, ta có: \(\dfrac{{\sqrt {1 + {y^3} + {z^3}} }}{{yz}} \ge \sqrt {3x} \), \(\dfrac{{\sqrt {1 + {z^3} + {x^3}} }}{{zx}} \ge \sqrt {3y} \).
Suy ra: \(P \ge \sqrt {3x} + \sqrt {3y} + \sqrt {3z} \) \( \ge 3\sqrt 3 \sqrt[3]{{\sqrt {xyz} }}\) \( = 3\sqrt 3 \).
Dấu đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z = 1\).
Vậy \(\min P = 3\sqrt 3 \).
Đáp án cần chọn là: b
Toán Lớp 12
