Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{a{x^2} - (a - 2)x - 2}}{{\sqrt {x + 3} - 2}}{\,\,\,khi\,\,\,}x e 1\\8 + {a^2}{\,\,\,khi\,\,\,}x = 1\end{array} \right.\). Có tất cả bao nhiêu giá trị của $a$ để hàm số liên tục tại \(x = 1\)?
Phương pháp giải
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
Lời giải của Tự Học 365
Tập xác định: \(D = \left[ { - 3;\, + \infty } \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a{x^2} - \left( {a - 2} \right)x - 2}}{{\sqrt {x + 3} - 2}}\).
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {ax + 2} \right)\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)}}{{x - 1}}\).
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {ax + 2} \right)\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)\)\( = 4\left( {a + 2} \right)\).
\(f\left( 1 \right) = 8 + {a^2}\).
Hàm số đã cho liên tục tại \(x = 1\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow 4\left( {a + 2} \right) = 8 + {a^2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = 4\end{array} \right.\).
Vậy có \(2\) giá trị của $a$ để hàm số đã cho liên tục tại \(x = 1\).
Đáp án cần chọn là: d
Toán Lớp 12
