Lời giải của Tự Học 365

Phương trình đường thẳng $d:y = m\left( {x - 2} \right)$

Phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( C \right)\) là:

$ - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 2 = m\left( {x - 2} \right)$$ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 4x + m + 1} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \Rightarrow A\left( {2;0} \right)\\{x^2} - 4x + m + 1 = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.$

Để đồ thị hàm số $\left( C \right)$ cắt \(d\) tại 3 điểm phân biệt thì phương trình \(\left( 1 \right)\) phải có hai nghiệm phân biệt \(x e 2\)

ĐK: $\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\4 - 8 + m + 1 e 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - m - 1 > 0\\m - 3 e 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\m e 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 3$

Giả sử $B\left( {{x_1};m{x_1} - 2m} \right),$$C\left( {{x_2};m{x_2} - 2m} \right)$ với \({x_1}\) và \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\)

Theo Viet $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1}{x_2} = m + 1\end{array} \right.$.

Vì \(m > 0 \Rightarrow {x_1} > 0\) và \({x_2} > 0\). Ta có $B'\left( {0,m{x_1} - 2m} \right),$$C'\left( {0,m{x_2} - 2m} \right)$

Ta có ${S_{BB'C'C}} = \dfrac{1}{2}B'C'\left( {BB' + CC'} \right) = 8 \Leftrightarrow B'C'\left( {BB' + CC'} \right) = 16\,\,\left( * \right)$

Mà $B'C' = \left| {m\left( {{x_1} - {x_2}} \right)} \right|$, $BB' = \left| {{x_1}} \right| = {x_1}$ và $CC' = \left| {{x_2}} \right| = {x_2}$

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow m\left| {{x_1} - {x_2}} \right|\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 16 \Leftrightarrow m\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 4 \Leftrightarrow {m^2}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 16\)

$ \Leftrightarrow {m^2}\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right] = 16$$ \Leftrightarrow {m^2}\left( {16 - 4m - 4} \right) = 16$$ \Leftrightarrow {m^3} - 3{m^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m = 2\end{array} \right.$

Kết hợp với \(m > 0\) và \(m < 3\) ta có \(m = 2\)

Đáp án cần chọn là: c