Lời giải của Tự Học 365

Đường tròn \(\left( \gamma  \right):\,{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\) có tâm \(I\left( {0;\,1} \right)\), \(R = 2\)

Ta có \(A\left( {1;\,1 - m} \right)\); \(y' = 4{x^3} - 4mx \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 4 - 4m\)

Suy ra phương trình \(\Delta \): \(y = \left( {4 - 4m} \right)\left( {x - 1} \right) + 1 - m\).

Dễ thấy \(\Delta \) luôn đi qua điểm cố định $F\left( {\dfrac{3}{4};\,0} \right)$ và điểm $F$ nằm trong đường tròn \(\left( \gamma  \right)\)

Giả sử \(\Delta \) cắt \(\left( \gamma  \right)\) tại \(M\), \(N\). Thế thì ta có: \(MN = 2\sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I;\,\Delta } \right)}  = 2\sqrt {4 - {d^2}\left( {I;\,\Delta } \right)} \)

Do đó \(MN\) nhỏ nhất $ \Leftrightarrow d\left( {I;\,\Delta } \right)$ lớn nhất $ \Leftrightarrow d\left( {I;\,\Delta } \right) = IF$$ \Rightarrow \Delta  \bot IF$

Khi đó đường \(\Delta \) có 1 vectơ chỉ phương $\vec u \bot \overrightarrow {IF}  = \left( {\dfrac{3}{4};\, - 1} \right)$; \(\vec u = \left( {1;\,\,4 - 4m} \right)\) nên ta có:

$\overrightarrow u .\overrightarrow {IF}  = 0 \Leftrightarrow 1.\dfrac{3}{4} - \left( {4 - 4m} \right) = 0$$ \Leftrightarrow m = \dfrac{{13}}{{16}}$

Đáp án cần chọn là: c