Lời giải của Tự Học 365

Ta có: \(I = \int\limits_e^{{e^2}} {\dfrac{{dx}}{{x\ln x\ln ex}}}  = \int\limits_e^{{e^2}} {\dfrac{{dx}}{{x\ln x\left( {1 + \ln x} \right)}}} \)

Đặt \(t = \ln x \Leftrightarrow dt = \dfrac{{dx}}{x}\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = e \Leftrightarrow t = 1\\x = {e^2} \Leftrightarrow t = 2\end{array} \right.\), khi đó

$\begin{array}{l}I = \int\limits_1^2 {\dfrac{{dt}}{{t\left( {t + 1} \right)}}}  = \int\limits_1^2 {\left( {\dfrac{1}{t} - \dfrac{1}{{t + 1}}} \right)dx}  = \left. {\left( {\ln \left| t \right| - \ln \left| {t + 1} \right|} \right)} \right|_1^2 = \left. {\ln \left| {\dfrac{t}{{t + 1}}} \right|} \right|_1^2\\\,\,\, = \ln \dfrac{2}{3} - \ln \dfrac{1}{2} = \ln \dfrac{4}{3} = \ln \dfrac{a}{b} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow a - b = 1\end{array}$

Đáp án cần chọn là: a