Biết \(\int\limits_{1}^{2}{\frac{x+1}{{{x}^{2}}+x\ln x}\,\text{d}x}=\ln \left( \ln a+b \right)\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên dương. Tính \(P={{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}.\)
Phương pháp giải
Dạng tích phân với biểu thức chứa phân số sử dụng phương pháp chia và đổi biến số
Lời giải của Tự Học 365
Ta có \(I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{x+1}{{{x}^{2}}+x\ln x}\,\text{d}x}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{1+\frac{1}{x}}{x+\ln x}\,\text{d}x}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{\text{d}\left( x+\ln x \right)}{x+\ln x}}=\left. \ln \left| x+\ln x \right| \right|_{1}^{2}=\ln \left( \ln 2+2 \right).\)
Mặt khác \(\int\limits_{1}^{2}{\frac{x+1}{{{x}^{2}}+x\ln x}\,\text{d}x}=\ln \left( \ln a+b \right)=\ln \left( \ln 2+2 \right)\Rightarrow \,\,\left\{ \begin{align} a=2 \\ b=2 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \,\,P=12.\)
Đáp án cần chọn là: a
Toán Lớp 12
