Lời giải của Tự Học 365

Ta có $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\sin x + x\cos x + x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}} = x + \dfrac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}$

Khi đó $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {\left( {x + \dfrac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}} \right){\rm{d}}x}  = \int {x{\rm{d}}x}  + \int {\dfrac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x.} $

Đặt $t = x\sin x + \cos x \Leftrightarrow {\rm{d}}t = \left( {x\sin x + \cos x} \right){\rm{'d}}x = \left( {\sin x + x\cos x - \sin x} \right)dx = x\cos x\,{\rm{d}}x.$

Suy ra $\int {\dfrac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x}  = \int {\dfrac{{{\rm{d}}t}}{t}}  = \ln \left| t \right| + C = \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + C.$

Do đó

$\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \dfrac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + C.\\ \Rightarrow F\left( 0 \right) = C = 1 \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + 1.\\ \Rightarrow F\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \dfrac{{{\pi ^2}}}{8} + \ln \dfrac{\pi }{2} + 1.\end{array}$

Đáp án cần chọn là: d