Lời giải của Tự Học 365

$f'(x)\sqrt {{x^2} + 1}  = 2x\sqrt {f(x) + 1}  \Leftrightarrow \dfrac{{f'(x)}}{{\sqrt {f(x) + 1} }} = \dfrac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \Rightarrow \int {\dfrac{{f'(x)}}{{\sqrt {f(x) + 1} }}} dx = \int {\dfrac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} dx \Leftrightarrow \int {\dfrac{{d\left( {f(x) + 1} \right)}}{{\sqrt {f(x) + 1} }}}  = \int {\dfrac{{d({x^2} + 1)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} $$ \Leftrightarrow 2\sqrt {f(x) + 1}  = 2\sqrt {{x^2} + 1}  + C$

Mà $f(0) = 0 \Rightarrow 2\sqrt {0 + 1}  = 2\sqrt {{0^2} + 1}  + C \Rightarrow C = 0$

$ \Rightarrow \sqrt {f(x) + 1}  = \sqrt {{x^2} + 1}  \Leftrightarrow f(x) = {x^2}$$ \Rightarrow f\left( {\sqrt 3 } \right) = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 3$

Đáp án cần chọn là: b