Câu hỏi
Thông hiểu
Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{{\ln }^2}x + 1} .\dfrac{{\ln x}}{x}\) thoả mãn \(F\left( 1 \right) = \dfrac{1}{3}\). Giá trị của \({F^2}\left( e \right)\) là
Đáp án đúng: a
Phương pháp giải
- Tìm \(F\left( x \right)\) thỏa mãn bài toán.
- Thay \(x = {e^2}\) vào \(F\left( x \right)\) và kết luận.
Lời giải của Tự Học 365
Đặt \(t = \sqrt {{{\ln }^2}x + 1} \Rightarrow tdt = \dfrac{{\ln x}}{x}dx\)
\(\int {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} .\dfrac{{\ln x}}{x}dx = \int {{t^2}dt = \dfrac{{{t^3}}}{3} + C = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} } \right)}^3}}}{3} + C} } \).
Vì \(F\left( 1 \right) = \dfrac{1}{3}\) nên \(C = 0\)
Vậy \({F^2}\left( e \right) = \dfrac{8}{9}\).
Đáp án cần chọn là: a
Toán Lớp 12
