Lời giải của Tự Học 365

Ta có: $f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)}$

$\Rightarrow \dfrac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }} = 2x + 1 \Rightarrow \int {\dfrac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx}  = \int {\left( {2x + 1} \right)dx}$

Tính $\int {\dfrac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx}$ ta đặt $\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)}  = t \Rightarrow 1 + {f^2}\left( x \right) = {t^2} \Rightarrow 2f\left( x \right)f'\left( x \right)dx = 2tdt$ $\Rightarrow f\left( x \right)f'\left( x \right)dx = tdt$

Thay vào ta được $\int {\dfrac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx}  = \int {\dfrac{{tdt}}{t}}  = \int {dt}  = t + C = \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)}  + C$

Do đó $\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)}  + C = {x^2} + x$.

$f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2  \Rightarrow \sqrt {1 + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}}  + C = 0 \Leftrightarrow C =  - 3$.

Từ đó:

$\begin{array}{l}\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)}  - 3 = {x^2} + x \Rightarrow \sqrt {1 + {f^2}\left( 1 \right)}  - 3 = 1 + 1 \Leftrightarrow \sqrt {1 + {f^2}\left( 1 \right)}  = 5\\ \Leftrightarrow 1 + {f^2}\left( 1 \right) = 25 \Leftrightarrow {f^2}\left( 1 \right) = 24 \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = \sqrt {24} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: c