Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá dương trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1;\)\(f\left( x \right) = f'\left( x \right)\sqrt {3x + 1} \) , với mọi \(x > 0\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Phương pháp giải
\(f\left( x \right) = f'\left( x \right)\sqrt {3x + 1} \Leftrightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}\)
Lấy nguyên hàm hai vế.
Lời giải của Tự Học 365
\(f\left( x \right) = f'\left( x \right)\sqrt {3x + 1} \Leftrightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}\)
Lấy nguyên hàm hai vế ta có \(\int\limits_{}^{} {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}dx} = \int\limits_{}^{} {\frac{{dx}}{{\sqrt {3x + 1} }} \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( x \right)} \right|} = \frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} + C = \ln f\left( x \right)\,\,\,\left( {f\left( x \right) > 0} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \ln \left| {f\left( 1 \right)} \right| = \frac{2}{3}.\sqrt 4 + C \Leftrightarrow C = - \frac{4}{3} \Rightarrow \ln f\left( x \right) = \frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} - \frac{4}{3} \Leftrightarrow f\left( x \right) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} - \frac{4}{3}}}\\ \Rightarrow f\left( 5 \right) = {e^{\frac{4}{3}}} \approx 3,79\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: d
Toán Lớp 12
