Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau
$f\left( x \right) > 0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} f'\left( x \right) = \dfrac{{x.f\left( x \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right) = e.$ Giá trị của $f\left( {\sqrt 3 } \right)$ bằng
Phương pháp giải
Chia cả hai vế cho \(f\left( x \right)\), lấy nguyên hàm hai vế để tìm được hàm số $f\left( x \right).$
Lời giải của Tự Học 365
Ta có $f'\left( x \right) = \dfrac{{x.f\left( x \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$$ \Leftrightarrow \int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x} = \int {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{\rm{d}}x} $
$ \Leftrightarrow \int {\dfrac{{{\rm{d}}\left( {f\left( x \right)} \right)}}{{f\left( x \right)}}} = \int {\dfrac{{{\rm{d}}\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}} = \sqrt {{x^2} + 1} + C$$ \Leftrightarrow \ln f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 1} + C \Leftrightarrow f\left( x \right) = {e^{\sqrt {{x^2}{\kern 1pt} + {\kern 1pt} 1} {\kern 1pt} + {\kern 1pt} {\kern 1pt} C}}$
Mà $f\left( 0 \right) = e$$ \Rightarrow $${e^{C{\kern 1pt} + {\kern 1pt} 1}} = e \Rightarrow C = 0.$
Vậy $f\left( {\sqrt 3 } \right) = {e^2}.$
Đáp án cần chọn là: b
Toán Lớp 12
