Lời giải của Tự Học 365

Ta có: \(HE//\left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {HE;SB} \right) = d\left( {HE;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right)\)

Gọi O là tâm của hình vuông, I là trung điểm của BO.

\( \Rightarrow HI//AC\), mà \(BD \bot AC \Rightarrow HI \bot BD\)

Mà \(SH \bot BD \Rightarrow BD \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow BD \bot HK\) \(\left( {K \in SI,\,\,HK \bot SI} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right) = HK\)

\(HD = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2},\,\,SH = \sqrt {S{D^2} - H{D^2}}  = \sqrt {\dfrac{{17{a^2}}}{4} - \dfrac{{5{a^2}}}{4}}  = a\sqrt 3 \)

\(HI = \dfrac{1}{2}AO = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\)

\(\dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{I^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{3{a^2}}} + \dfrac{8}{{{a^2}}} = \dfrac{{25}}{{3{a^2}}} \Rightarrow HK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{5}\)

Vậy \(d\left( {HE;SB} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{5}.\)

Đáp án cần chọn là: d