Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD $ là hình vuông cạnh bằng \(10\). Cạnh bện $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SC = 10\sqrt 5 $. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $CD.$ Tính khoảng cách giữa BD và MN.
Phương pháp giải
Dựa vào phương pháp xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Lời giải của Tự Học 365
Gọi \(P\) là trung điểm \(BC\) và \(E = NP \cap AC\), suy ra \(PN\parallel BD\) nên \(BD\parallel \left( {MNP} \right)\).
Do đó
\(d\left( {BD;MN} \right) = d\left( {BD;\left( {MNP} \right)} \right) = d\left( {O;\left( {MNP} \right)} \right)\)
Ta có \(PE//BO,P\) là trung điểm của \(BC\) nên \(E\) là trung điểm của \(OC\), do đó \(OE = \dfrac{1}{3}AE\)
Mà \(AO \cap \left( {MNP} \right) = E \Rightarrow d\left( {O;\left( {MNP} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}d\left( {A;\left( {MNP} \right)} \right).\)
Kẻ \(AK \bot ME\,\,\left( 1 \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\\NP//BD \Rightarrow NP \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow NP \bot AK\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow AK \bot \left( {MNP} \right)\). Khi đó \(d\left( {A;\left( {MNP} \right)} \right) = AK.\)
Tính được \(SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}} = 10\sqrt 3 \Rightarrow MA = 5\sqrt 3 ;\,\,AE = \dfrac{3}{4}AC = \dfrac{{15\sqrt 2 }}{2}\)
Tam giác vuông \(MAE\), có \(AK = \dfrac{{MA.AE}}{{\sqrt {M{A^2} + A{E^2}} }} = 3\sqrt 5 .\) Vậy \(d\left( {BD;MN} \right) = \dfrac{1}{3}AK = \sqrt 5 \).
Đáp án cần chọn là: b
Toán Lớp 12
