Trong không gian với hệ tọa độ , cho \(A\left( {2;5; - 3} \right);\,\,B\left( { - 2;1;1} \right);\,\,C\left( {2;0;1} \right)\) và mặt phẳng (P). Gọi \(D\left( {a;b;c} \right)\,\,\left( {c > 0} \right)\) thuộc sao cho có vô số mặt phẳng (P) chứa C, D và khoảng cách từ A đến (P) gấp 3 lần khoảng cách từ B đến (P). Tính giá trị biểu thức \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)
Phương pháp giải
Vì \({d_{(A,(P))}} = 3{d_{(B,(P))}}\) nên AB cắt (P) tại điểm I \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {BI} \\\overrightarrow {AI} = - 3\overrightarrow {BI} \end{array} \right.\)
Lời giải của Tự Học 365
Vì \({d_{(A,(P))}} = 3{d_{(B,(P))}}\) nên AB cắt (P) tại điểm I \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {BI} \\\overrightarrow {AI} = - 3\overrightarrow {BI} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}I\left( { - 4; - 1;3} \right)\\I\left( { - 1;2;0} \right)\end{array} \right.\)
Vì có vô số mặt phẳng (P) chứa C, D và khoảng cách từ A đến (P) gắp 3 lần khoảng cách từ B đến (P) nên I, C, D thẳng hàng hay \(D = IC \cap (\alpha )\)
+ Nếu \(I\left( { - 4; - 1;3} \right) \Rightarrow \left( {IC} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 6t\\y = t\\z = 1 - 2t\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 4; - 1;3} \right)\) ( thỏa mãn )
+ Nếu \(I( - 1;2;0) \Rightarrow \left( {IC} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = - 2t\\z = 1 + t\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 4;4; - 1} \right)\) ( loại)
Vậy \(D\left( { - 4; - 1;3} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 4\\b = - 1\\c = 3\end{array} \right. \Rightarrow S = 16 + 1 + 9 = 26\)
Đáp án cần chọn là: d
Toán Lớp 12
