Lời giải của Tự Học 365

Gọi $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,BC$ suy ra $AN \cap MC = G.$

Dễ thấy mặt phẳng $\left( {GCD} \right)$ cắt đường thắng $AB$ tại điểm $M.$

Suy ra tam giác $MCD$ là thiết diện của mặt phẳng $\left( {GCD} \right)$ và tứ diện $ABCD\,.$

Tam giác $ABD$ đều, có $M$ là trung điểm $AB$ suy ra $MD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.$

Tam giác $ABC$đều, có $M$ là trung điểm $AB$ suy ra $MC = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.$

Gọi $H$ là trung điểm của $CD\,\, \Rightarrow \,\,MH \bot CD\,\, \Rightarrow \,\,{S_{\Delta MCD}} = \dfrac{1}{2}.MH.CD$

Với $MH = \sqrt {M{C^2} - H{C^2}}  = \sqrt {M{C^2} - \dfrac{{C{D^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.$

Vậy ${S_{\Delta MCD}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.a = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}\,.$

Đáp án cần chọn là: b