Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {3;3; - 2} \right)\) và hai đường thẳng \({d_1}:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{3} = \dfrac{z}{1}\); \({d_2}:\dfrac{{x + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{4}\). Đường thẳng \(d\) qua \(M\) cắt \({d_1},{d_2}\) lần lượt \(A\) và \(B\). Tính độ dài đoạn thẳng \(AB\).
Phương pháp giải
Gọi tọa độ \(A,B\) thuộc \({d_1},{d_2}\), sử dụng điều kiện \(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} \) cùng phương suy ra \(a,b\) và tính độ dài \(AB\)
Lời giải của Tự Học 365
Ta có \(A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {1 + a;2 + 3a;a} \right),\)\(B \in {d_2} \Rightarrow B\left( { - 1 - b;1 + 2b;2 + 4b} \right)\)
\(\overrightarrow {MA} = \left( {a - 2;3a - 1;a + 2} \right),\overrightarrow {MB} = \left( { - b - 4;2b - 2;4b + 4} \right)\)
Ta có \(A,B,M\)thẳng hàng nên: \(\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} \;\left( {k \in \mathbb{R}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 2 = k\left( { - b - 4} \right)\\3a - 1 = k\left( {2b - 2} \right)\\a + 2 = k\left( {4b + 4} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5ab + 10a - 5b = 0\\5ab + 7a - 4b = 0\\a + 2 = k\left( {4b + 4} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \dfrac{{10}}{9}\end{array} \right.\\a + 2 = k\left( {4b + 4} \right)\end{array} \right.\)
Với $a = 0 \Rightarrow b = 0 \Rightarrow A\left( {1;2;0} \right),B\left( { - 1;1;2} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 3$
Với \(a = \dfrac{{10}}{9} \Rightarrow b = 20 \Rightarrow A\left( {\dfrac{{19}}{9};\dfrac{{16}}{3};\dfrac{{10}}{9}} \right),B\left( { - 21;41;32} \right)\)
Đáp án cần chọn là: b
Toán Lớp 12
