Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số 1 chia hết cho
Câu hỏi
Nhận biếtChứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số \(1\) chia hết cho \(2019\).
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Xét \(2020\) số có dạng \(1,\,\,11,\,\,111, \ldots ,\,\,11 \ldots 11\).
Theo nguyên tắc Dirichle, tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho \(2019\).
Giả sử, hai số có cùng số dư khi chia cho \(2019\) là \(A = \underbrace {11 \ldots 11}_{n\,\,so\,\,1}\) và \(B = \underbrace {11 \ldots 11}_{k\,\,so\,\,1}\) với \(k < n\).
Khi đó, \(A - B = \underbrace {11 \ldots 11}_{n\,\,so\,\,1} - \underbrace {11 \ldots 11}_{k\,\,so\,\,1} = \underbrace {11 \ldots 11}_{n\,\, - \,\,k\,\,so\,\,1}\underbrace {00 \ldots 00}_{k\,\,so\,\,0} = \underbrace {11 \ldots 11}_{n\,\, - \,\,k\,\,so\,\,1} \cdot {10^k}\) chia hết cho \(2019\).
Vì \(A - B\,\, \vdots \,\,2019\) mà \(\left( {{{10}^k},\,\,2019} \right) = 1\) suy ra \(\underbrace {11 \ldots 11}_{n\,\, - \,\,k\,\,so\,\,1}\) chia hết cho\(\,2019\).
Vậy tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số \(1\) chia hết cho \(2019\).
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Tính bằng cách hợp lí (nếu có thể) :
\(\begin{array}{*{20}{l}}{A = \left( {6888:56-{{11}^2}} \right).152 + 13.72 + 13.28}\\{B = \left[ {5082:\left( {{{17}^{29}}:{{17}^{27}}-{{16}^2}} \right) + 13.12} \right]:31 + {9^2}}\end{array}\)
-
Tìm \(4\) số tự nhiên liên tiếp mà tổng bằng \(2010.\)
-
Cách tính đúng của phép tính \({4^4}:{4^3}\) là:
-
Theo kế hoạch hai tổ sản xuất \(600\) sản phẩm. Do cải tiến kĩ thuật nên tổ \(I\) đã vượt mức \(18\% \) và tổ \(II\) vượt mức \(21\% \) . Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức \(120\) sản phẩm. Hỏi sản phẩm tổ \(I\) và tổ \(II\) được giao theo kế hoạch là bao nhiêu?
-
Tìm \(x\) biết:
\(\begin{array}{l}a)\;\left( {2x-130} \right):4 + 213 = {5^2} + 193\\b)\left( {{5^2} + {3^2}} \right)x + \left( {{5^2}-{3^2}} \right)x-50 = {10^2}\end{array}\)
-
Viết kết quả của phép tính \({27^{16}}:{9^{10}}\) dưới dạng lũy thừa:
-
Viết liên tiếp các số từ \(1\) đến \(9999\) ta được số \(123…99999\). Tìm tổng các chữ số của số đó.
-
Biết \({5^{x - 3}} = 25\) . Giá trị của \(x\) là:
-
Phép toán \({6^2}:4.3 + {2.5^2}\) có kết quả là:
-
Tìm \(x\):
\(a)\,\,\,\,{\left( {7x - 11} \right)^3} = {2^5}{.5^2} + 200\)
\(b)\,\,\,\,\,{5^{x - 2}} - {3^2} = {2^4} - \left( {{6^8}:{6^6} - {6^2}} \right)\)