Tìm số tự nhiên n để phân số A = 21n + 36n + 4 rút gọn được.
Câu hỏi
Nhận biếtTìm số tự nhiên \(n\) để phân số \(A = \frac{{21n + 3}}{{6n + 4}}\) rút gọn được.
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(d\) là ước nguyên tố của \(21n + 3\) và \(6n + 4\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}21n + 3\,\, \vdots \,\,d\\6n + 4\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.\left( {21n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\\7.\left( {6n + 4} \right)\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}42n + 6\,\, \vdots \,\,d\\42n + 28\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left( {42n + 28} \right) - \left( {42n + 6} \right)\,\, \vdots \,\,d\)
\( \Rightarrow 42n + 28 - 42n - 6\,\, \vdots \,\,d\)
\( \Rightarrow 22\,\, \vdots \,\,d\)
Vì \(d\) là số nguyên tố nên \(d \in \left\{ {2;11} \right\}\).
+) Với \(d = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}21n + 3\,\, \vdots \,\,2\\6n + 4\,\, \vdots \,\,2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3.\left( {7n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,2\\2.\left( {3n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,2\end{array} \right.\)
Vì \(2.\left( {3n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,2\) (luôn đúng) \( \Rightarrow 3.\left( {7n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,2\).
Mà \(3\) không chia hết cho \(2\) suy ra \(\left( {7n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,2\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}7n + 1\,\, \vdots \,\,2\\6\,\, \vdots \,\,2\end{array} \right. \Rightarrow 7n + 1 + 6\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow 7n + 7\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow 7\left( {n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,2\)
Vì \(7\) không chia hết cho \(2 \Rightarrow n + 1\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow n = 2m - 1\,\,\,\,\left( {m \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
+) Với \(d = 11 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}21n + 3\,\, \vdots \,\,11\\6n + 4\,\, \vdots \,\,11\end{array} \right.\)
Ta có: \(21n + 3\,\, \vdots \,\,11\) \( \Rightarrow 22n - n + 3\,\, \vdots \,\,11\)\( \Rightarrow 22n - \left( {n - 3} \right)\,\, \vdots \,\,11\)
Mà \(22n\,\, \vdots \,\,11\) nên \(\left( {n - 3} \right)\,\, \vdots \,\,11 \Rightarrow n - 3 = 11k \Rightarrow n = 11k + 3\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)
Với \(n = 11k + 3 \Rightarrow 6n + 4 = 6\left( {11k + 3} \right) + 4\) \( = 66k + 22 = 11\left( {6k + 3} \right)\,\, \vdots \,\,11\,\,\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy với \(n = 2m + 1\) hoặc \(n = 11k + 3\,\,\left( {m \in {\mathbb{N}^*},\,\,k \in \mathbb{N}} \right)\) thì phân số \(A = \frac{{21n + 3}}{{6n + 4}}\) rút gọn được.
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Tìm \(x\):
\(a)\,\,\,\,{\left( {7x - 11} \right)^3} = {2^5}{.5^2} + 200\)
\(b)\,\,\,\,\,{5^{x - 2}} - {3^2} = {2^4} - \left( {{6^8}:{6^6} - {6^2}} \right)\)
-
Tìm \(x\) biết:
\(\begin{array}{l}a)\;\left( {2x-130} \right):4 + 213 = {5^2} + 193\\b)\left( {{5^2} + {3^2}} \right)x + \left( {{5^2}-{3^2}} \right)x-50 = {10^2}\end{array}\)
-
Theo kế hoạch hai tổ sản xuất \(600\) sản phẩm. Do cải tiến kĩ thuật nên tổ \(I\) đã vượt mức \(18\% \) và tổ \(II\) vượt mức \(21\% \) . Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức \(120\) sản phẩm. Hỏi sản phẩm tổ \(I\) và tổ \(II\) được giao theo kế hoạch là bao nhiêu?
-
Viết kết quả của phép tính \({27^{16}}:{9^{10}}\) dưới dạng lũy thừa:
-
Biết \({5^{x - 3}} = 25\) . Giá trị của \(x\) là:
-
Viết liên tiếp các số từ \(1\) đến \(9999\) ta được số \(123…99999\). Tìm tổng các chữ số của số đó.
-
Phép toán \({6^2}:4.3 + {2.5^2}\) có kết quả là:
-
Cách tính đúng của phép tính \({4^4}:{4^3}\) là:
-
Tìm \(4\) số tự nhiên liên tiếp mà tổng bằng \(2010.\)
-
Tính bằng cách hợp lí (nếu có thể) :
\(\begin{array}{*{20}{l}}{A = \left( {6888:56-{{11}^2}} \right).152 + 13.72 + 13.28}\\{B = \left[ {5082:\left( {{{17}^{29}}:{{17}^{27}}-{{16}^2}} \right) + 13.12} \right]:31 + {9^2}}\end{array}\)