Danh sách câu hỏi
[Mạnh cầm một tờ giấy và lấy kéo cắt thành 7 mảnh sau đó nhặt một trong số bảy mảnh giấy đã cắt và lạ - Tự Học 365] Mạnh cầm một tờ giấy và lấy kéo cắt thành 7 mảnh sau đó nhặt một trong số bảy mảnh giấy đã cắt và lại cắt thành 7 mảnh. Mạnh cứ tiếp tục cắt như vậy. Sau một hồi, Mạnh thu lại và đếm tất cả các mảnh giấy đã cắt. Hỏi kết quả nào sau đây có thể xảy ra?
[Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Với mọi số tự nhiên n thỏa n ge 3thì: - Tự Học 365] Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Với mọi số tự nhiên n thỏa \(n \ge 3\)thì:
[Gọi x1x2 là hai nghiệm của phương trình : x^2 - 6x + 1 = 0. Đặt an = x1^n + x2^n. Chọn mệnh đề đúng: - Tự Học 365] Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình : \({x^2} - 6x + 1 = 0\). Đặt \({a_n} = x_1^n + x_2^n\). Chọn mệnh đề đúng:
[Phép chứng minh sau đây nhận giá trị chân lí là gì? Bài toán: Chứng minh quy nạp: 1^3 + 2^3 + ... + - Tự Học 365] Phép chứng minh sau đây nhận giá trị chân lí là gì?
Bài toán: Chứng minh quy nạp: \({1^3} + {2^3} + ... + {n^3} = \frac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}\)
Chứng minh: Giả sử đẳng thức đúng với \(n = k\,\,\,(k \ne 1)\)
Ta có: \({1^3} + {2^3} + ... + {k^3} = \frac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{4}\)
Ta chứng minh đẳng thức đúng với \(n = k + 1\). Thật vậy:
\({1^3} + {2^3} + ... + {k^3} + {\left( {k + 1} \right)^3} = \frac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{4} + {\left( {k + 1} \right)^3} = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}{{\left( {k + 2} \right)}^2}}}{4}\)
Vậy đẳng thức đúng với \(n = k + 1\)
Áp dụng nguyên lí quy nạp toán học ta suy ra đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n.
[Một học sinh chứng minh mệnh đề ''8^n + 1 chia hết cho 7 forall n in N^*'' (*) như sau: +) Giả sử - Tự Học 365] Một học sinh chứng minh mệnh đề ''\({8^n} + 1\) chia hết cho 7, \(\forall n \in {N^*}\)'' (*) như sau:
+) Giả sử (*) đúng với \(n = k\), tức là \({8^k} + 1\) chia hết cho 7.
+) Ta có:\({8^{k + 1}} + 1 = 8\left( {{8^k} + 1} \right) - 7\), kết hợp với giả thiết \({8^k} + 1\) chia hết cho 7 nên suy ra được \({8^{k + 1}} + 1\) chia hết cho 7. Vậy đẳng thức (*) đúng với mọi \(n \in {N^*}\).
Khẳng định nào sau đây là đúng?
[Hãy xem trong lời giải của bài toán sau đây có bước nào bị sai? Bài toán: Chứng minh rằng với mọi s - Tự Học 365] Hãy xem trong lời giải của bài toán sau đây có bước nào bị sai?
Bài toán: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, mệnh đề sau đây đúng:
A(n) : “Nếu a và b là những số nguyên dương mà \(\max \left\{ {a;b} \right\} = n\) thì \(a = b\)”
Chứng minh :
Bước 1: A(1):”Nếu a, b là những số nguyên dương mà \(\max \left\{ {a;b} \right\} = 1\) thì \(a = b\)”
Mệnh đề A(1) đúng vì \(\max \left\{ {a;b} \right\} = 1\) và a, b là những số nguyên dương thì \(a = b = 1\).
Bước 2: Giả sử A(k) là mệnh đề đúng vơi \(k \ge 1\).
Bước 3: \(\max \left\{ {a;b} \right\} = k + 1 \Rightarrow \max \left\{ {a - 1;b - 1} \right\} = k + 1 - 1 = k\)
Do A(k) là mệnh đề đúng nên \(a - 1 = b - 1 \Rightarrow a = b \Rightarrow \) A(k+1) đúng.
Vậy A(n) đúng với mọi \(n \in {N^*}\)
[Gọi Sn = 11.2 + 12.3 + ... + 1n( n + 1 )forall n = 1;;2;;3..... thì kết quả nào sau đây là đúng - Tự Học 365] Gọi \({S_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}},\,\forall n = 1;\;2;\;3.....\) thì kết quả nào sau đây là đúng
[Với mọi số tự nhiên n ge 1 tổng Sn = 1^2 + 2^2 + ... + (n - 1)^2 + n^2 là: - Tự Học 365] Với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), tổng \({S_n} = {1^2} + {2^2} + ... + {(n - 1)^2} + {n^2}\) là:
[Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A( n ) đúng với mọi số tự nhiên n ge p ( p là một số tự nh - Tự Học 365] Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến \(A\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge p\) ( p là một số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng:
[Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A( n ) đúng với mọi số tự nhiên n ge p ( p là một số tự nh - Tự Học 365] Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến \(A\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge p\) ( p là một số tự nhiên). Ở bước 3 ta chứng minh mệnh đề \(A\left( n \right)\) đúng với n bằng:
[Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A( n ) đúng với mọi số tự nhiên n ge - Tự Học 365] Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến \(A\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge p\) ( p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề \(A\left( n \right)\) đúng với \(n = 1\) .
Bước 2: Giả thiết mệnh đề \(A\left( n \right)\) đúng với số tự nhiên bất kỳ \(n = k \ge p\).
Bước 3: Chứng minh mệnh đề \(A\left( n \right)\) đúng với \(n = k + 1\).
Trong ba bước trên:
[Cho tổng: Sn = 11.5 + 15.9 + 19.13 + ... + 1( 4n - 3 )( 4n + 1 ). Tính S3. - Tự Học 365] Cho tổng: \({S_n} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} + ... + \frac{1}{{\left( {4n - 3} \right)\left( {4n + 1} \right)}}\). Tính \({S_3}\).
[Cho phương trình cos 2x - ( 2m - 3 )cos x + m - 1 = 0 (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị thực củ - Tự Học 365] Cho phương trình \(\cos 2x - \left( {2m - 3} \right)\cos x + m - 1 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\,\frac{{3\pi }}{2}} \right)\).
[Phương trình căn 1 + sin x + căn 1 + cos x = m có nghiệm khi và chỉ khi - Tự Học 365] Phương trình \(\sqrt {1 + \sin x} + \sqrt {1 + \cos x} = m\) có nghiệm khi và chỉ khi
[Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình 2( m + 1 - sin ^2x ) - ( 4m + 1 )c - Tự Học 365] Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực \(m\) để phương trình \(2\left( {m + 1 - {{\sin }^2}x} \right) - \left( {4m + 1} \right)\cos x = 0\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {\frac{{\rm{\pi }}}{2};\frac{{{\rm{3\pi }}}}{2}} \right)\).
