Xét tính chất của tam giác ABC biết rằng: cos A + cos B - cos C + 1 = sin A + sin B + sin C
Câu hỏi
Nhận biếtXét tính chất của tam giác ABC biết rằng: \(\cos A + \cos B - \cos C + 1 = \sin A + \sin B + \sin C\)
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{ & \cos A + \cos B - \cos C + 1 = 2\cos {{A + B} \over 2}\cos {{A - B} \over 2} + 2{\sin ^2}{C \over 2} \cr & = 2\cos \left( {{\pi \over 2} - {C \over 2}} \right)\cos {{A - B} \over 2} + 2{\sin ^2}{C \over 2} \cr & = 2\sin {C \over 2}\cos {{A - B} \over 2} + 2{\sin ^2}{C \over 2} \cr & = 2\sin {C \over 2}\left( {\cos {{A - B} \over 2} + \sin {C \over 2}} \right) \cr & = 2\sin {C \over 2}\left( {\cos {{A - B} \over 2} + \cos {{A + B} \over 2}} \right) \cr & = 2\sin {C \over 2}.2\cos {A \over 2}.\cos {B \over 2} = 4\cos {A \over 2}\cos {B \over 2}\sin {C \over 2} \cr & \sin A + \sin B + \sin C = 2\sin {{A + B} \over 2}\cos {{A - B} \over 2} + 2\sin {C \over 2}\cos {C \over 2} \cr & = 2\sin \left( {{\pi \over 2} - {C \over 2}} \right)\cos {{A - B} \over 2} + 2\sin {C \over 2}\cos {C \over 2} \cr & = 2\cos {C \over 2}\cos {{A - B} \over 2} + 2\sin {C \over 2}\cos {C \over 2} \cr & = 2\cos {C \over 2}\left( {\cos {{A - B} \over 2} + \sin \left( {{\pi \over 2} - {{A + B} \over 2}} \right)} \right) \cr & = 2\cos {C \over 2}\left( {\cos {{A - B} \over 2} + \cos {{A + B} \over 2}} \right) \cr & = 2\cos {C \over 2}.2\cos {A \over 2}\cos {B \over 2} = 4\cos {A \over 2}\cos {B \over 2}\cos {C \over 2} \cr & {{\cos A + \cos B - \cos C + 1} \over {\sin A + \sin B + \sin C}} = {{4\cos {A \over 2}\cos {B \over 2}\sin {C \over 2}} \over {4\cos {A \over 2}\cos {B \over 2}\cos {C \over 2}}} = \tan {C \over 2} \cr & \Rightarrow \tan {C \over 2} = 1 \Leftrightarrow {C \over 2} = {45^0} \Leftrightarrow C = {90^0} \cr} \)
\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại C.
Chọn: C