Với x > 4, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A.B.
Câu hỏi
Nhận biếtVới \(x > 4 \), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = A.B \).
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Với \(x > 4\), ta có:
\(\begin{array}{l}P = A.B = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x - 2}}.\frac{x}{{x - 4}} = \frac{x}{{\sqrt x - 2}}\\ \Rightarrow P = \frac{{x - 4 + 4}}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{4}{{\sqrt x - 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{4}{{\sqrt x - 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt x + 2 + \frac{4}{{\sqrt x - 2}} = \sqrt x - 2 + \frac{4}{{\sqrt x - 2}} + 4\end{array}\)
Khi \(x > 4\) thì \( \Rightarrow \sqrt x > 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x - 2 > 0\\\frac{4}{{\sqrt x - 2}} > 0\end{array} \right.\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\sqrt x - 2\,\) và \(\frac{4}{{\sqrt x - 2}}\) ta được:
\(\begin{array}{l}\sqrt x - 2 + \frac{4}{{\sqrt x - 2}} \ge 2.\sqrt {\left( {\sqrt x - 2} \right).\frac{4}{{\sqrt x - 2}}} = 2\sqrt 4 = 4\\ \Rightarrow \sqrt x - 2 + \frac{4}{{\sqrt x - 2}} + 4 \ge 4 + 4 = 8\,\,\,\,\,\,\,hay\,\,\,\,\,\,\,P \ge 8\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x - 2 = \frac{4}{{\sqrt x - 2}} \Rightarrow {\left( {\sqrt x - 2} \right)^2} = 4\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x - 2 = 2\\\sqrt x - 2 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 4\\\sqrt x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16\,\,\,\,\,\left( {tm\,\,\,\,\,x > 4} \right)\\x = 0\,\,\,\,\left( {ktm\,\,\,\,x > 4} \right)\end{array} \right.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P = 8\) khi và chỉ khi \(x = 16\).
Chọn A.
