Với abc là các số dương. Biểu thức P=ab+c+bc+a+ca+b. Mệnh đề nào sau đây đúng.
Câu hỏi
Nhận biếtVới \(a,b,c\) là các số dương. Biểu thức \(P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\). Mệnh đề nào sau đây đúng.
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}P = \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}}\\ \Leftrightarrow P + 3 = \frac{a}{{b + c}} + 1 + \frac{b}{{c + a}} + 1 + \frac{c}{{a + b}} + 1\\ \Leftrightarrow P + 3 = \frac{{a + b + c}}{{b + c}} + \frac{{a + b + c}}{{c + a}} + \frac{{a + b + c}}{{a + b}}\\ \Leftrightarrow P + 3 = \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}} + \frac{1}{{a + b}}} \right)\end{array}\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{9}{x+y+z}\) với \(x,y,z>0\), ta có: \(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\ge \frac{9}{2\left( a+b+c \right)}\)
Suy ra \(P+3\ge \left( a+b+c \right).\frac{9}{2\left( a+b+c \right)}=\frac{9}{2}\Rightarrow P\ge \frac{3}{2}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Chọn D.