Với abc > 0 thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 3. Khi đó biểu thức S = căn a^6 + b^6 + 1 + căn b
Câu hỏi
Nhận biếtVới \(a,b,c > 0\) thỏa mãn điều kiện \(ab + bc + ca = 3\). Khi đó, biểu thức \(S = \sqrt {{a^6} + {b^6} + 1} + \sqrt {{b^6} + {c^6} + 1} + \sqrt {{c^6} + {a^6} + 1} \) đạt giá trị nhỏ nhất là:
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số \({a^6},{b^6}\) và 1, ta có
\({a^6} + {b^6} + 1 \ge 3\root 3 \of {{a^6}.{b^6}.1} = 3{a^2}{b^2} \Leftrightarrow \sqrt {{a^6} + {b^6} + 1} \ge \sqrt 3 |ab| = \sqrt 3 ab\).
Tương tự ta có : \(\sqrt {{b^6} + {c^6} + 1} \ge \sqrt 3 bc;\,\,\,\sqrt {{c^6} + {a^6} + 1} \ge \sqrt 3 ac\).
Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta có
\(\sqrt {{a^6} + {b^6} + 1} + \sqrt {{b^6} + {c^6} + 1} + \sqrt {{c^6} + {a^6} + 1} \ge {\rm{ }}\sqrt 3 ab + \sqrt 3 bc + \sqrt 3 ac = \sqrt 3 \left( {ab + bc + ca} \right) = 3\sqrt 3 \).
Chọn C.