và một điểm H cố định nằm ngoài đường tròn. Qua H kẻ đường thẳng d vu
Câu hỏi
Nhận biếtCho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và một điểm H cố định nằm ngoài đường tròn. Qua H kẻ đường thẳng d vuông góc với đoạn thẳng OH. Từ một điểm S bất kì trên đường thẳng d kẻ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) (A, B là tiếp điểm). Gọi M,N lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng SO với đoạn thẳng AB và với đường tròn \(\left( {O;R} \right)\).
1) Chứng minh bốn điếm S, A, O, B cùng nằm trên một đường tròn
2) Chứng minh \(OM.OS = {R^2}\)
3) Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAB
4) Khi điểm S di chuyển trên đường thẳng d thì điểm M di chuyển trên đường nào? Tại sao?
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
1) Chứng minh bốn điếm S, A, O, B cùng nằm trên một đường tròn
Ta có SA, SB là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)\( \Rightarrow \angle OAS = \angle OBS = {90^o}\)
\( \Rightarrow \) A, B cùng thuộc đường tròn đường kính OS
\( \Rightarrow \) A, B, O, S cùng thuộc một đường tròn đường kính OS.
2) Chứng minh \(OM.OS = {R^2}\)
Ta có SA, SB là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) cắt nhau tại S
\( \Rightarrow \) \(SA = SB\) và SO là phân giác \(\angle ASB\] (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow \Delta SAB\) là tam giác cân tại S.
\( \Rightarrow \) SO vừa là phân giác \(\angle ASB\] vừa là đường trung trực của AB (tính chất tam giác cân)
\( \Rightarrow SO \bot AB\) tại M.
\( \Rightarrow \) AM là đường cao trong tam giác OAS
Xét tam giác OAS vuông tại A, đường cao AM ta có:
\(OM.OS = O{A^2} = {R^2}\) (hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông)
3) Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAB
Có \(\angle OBS = {90^o}\) ( SB là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)) \( \Rightarrow \angle OBN + \angle NBS = {90^o}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Có \(SO \bot AB\) (chứng minh trên)\( \Rightarrow \) Tam giác MNB vuông tại M \( \Rightarrow \angle MNB + \angle NBM = {90^o}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Có \(ON = OB = R \Rightarrow \) Tam giác ONB cân tại O \( \Rightarrow \angle MNB = \angle OBN\) (tính chất tam giác cân) \(\left( 3 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow \angle NBS = \angle NBM\)\( \Rightarrow \) BN là phân giác \(\angle SBA\)
Mặt khác SN là phân giác \(\angle ASB (tính \,chất \,hai \,tiếp \,tuyến \,cắt \,nhau) \,và \,SN \cap BN = \left\{ N \right\}\)
\( \Rightarrow \) N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAB.
4) Khi điểm S di chuyển trên đường thẳng d thì điểm M di chuyển trên đường nào? Tại sao?
Gọi \(HO \cap AB = \left\{ K \right\}\).
Xét \(\Delta OMK\) và \(\Delta OHS\) có: \(\angle O\) chung; \(\angle OMK = \angle OHS\,\,\,( = {90^o})\)
\( \Rightarrow \Delta OMK \sim \Delta OHS\) (g.g) \( \Rightarrow \frac{{OK}}{{OS}} = \frac{{OM}}{{OH}} \Rightarrow OK.OH = OM.OS = {R^2}\]
Vì H cố định \( \Rightarrow \) OH cố định mà R cố định \( \Rightarrow \) OK cố định.
Mặt khác \(\angle OMK = {90^o}\) \( \Rightarrow \) M thuộc đường tròn đường kính OK cố định.
Vậy khi điểm S di chuyển trên đường thẳng d thì điểm M di chuyển trên đường tròn đường kính OK cố định.
