. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn ( O;R ) sao cho OM = 2R, vẽ hai tiế
Câu hỏi
Nhận biếtCho đường tròn \(\left( {O;\,\,R} \right).\) Từ một điểm \(M\) ở ngoài đường tròn \(\left( {O;\,\,R} \right)\) sao cho \(OM = 2R,\) vẽ hai tiếp tuyến \(MA,\,\,MB\) với \(\left( O \right),\) (\(A,\,\,B\) là hai tiếp điểm). Lấy một điểm \(N\) tùy ý trên cung nhỏ \(AB.\) Gọi \(I,\,\,H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(N\) trên \(AB,\,\,AM,\,\,BM.\)
1) Tính diện tích tứ giác \(MAOB\) theo \(R\).
2) Chứng minh \(\angle NIH = \angle NBA\).
3) Gọi \(E\) là giao điểm của \(AN\) và \(IH\), \(F\) là giao điểm của \(BN\) và \(IK\). Chứng minh tứ giác \(IENF\) nội tiếp được trong đường tròn.
4) Giả sử \(O,\,\,N,\,\,M\)thẳng hàng. Chứng minh \(N{A^2} + N{B^2} = 2{R^2}.\)
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
1) Tính diện tích tứ giác \(MAOB\) theo \(R\).
Xét tam giác \(OAM\) và tam giác \(OBM\) ta có:
\(\begin{array}{l}OA = OB\,\,\left( { = R} \right);\\OM\,\,chung;\end{array}\)
\(MA = MB\) (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) ;
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta OAM = \Delta OBM\,\,\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow {S_{\Delta OAM}} = {S_{\Delta OBM}}\\ \Rightarrow {S_{MAOB}} = {S_{\Delta OAM}} + {S_{\Delta OBM}} = 2{S_{\Delta OAM}}.\end{array}\)
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OAM\) ta có:
\(A{M^2} = O{M^2} - O{A^2} = {\left( {2R} \right)^2} - {R^2} = 3{R^2} \Rightarrow AM = R\sqrt 3 \).
\( \Rightarrow {S_{MAOB}} = 2{S_{\Delta OAM}} = 2.\frac{1}{2}.OA.AM = R.R\sqrt 3 = {R^2}\sqrt 3 \) (đvdt).
2) Chứng minh \(\angle NIH = \angle NBA\).
Xét tứ giác \(AINH\) có: \(\angle AIN + \angle AHN = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(AINH\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
\( \Rightarrow \angle NIH = \angle NAH\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HN\)).
Mà \(\angle NAH = \angle NBA\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung \(AN\) của \(\left( O \right)\) )
\( \Rightarrow \angle NIH = \angle NBA\,\,\,\,\left( { = \angle NAH} \right)\,\left( {dpcm} \right)\).
3) Gọi \(E\) là giao điểm của \(AN\) và \(IH\), \(F\) là giao điểm của \(BN\) và \(IK\). Chứng minh tứ giác \(IENF\) nội tiếp được trong đường tròn.
Xét tứ giác \(NIBK\) ta có: \(\angle NIB + \angle NKB = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này là hai góc đối diện
\( \Rightarrow NIBK\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)
\( \Rightarrow \angle KBN = \angle NIK\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(KB\))
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có: \(\angle KBN = \angle NAB\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(BN\))
\( \Rightarrow \angle NIK = \angle NAB\,\,\,\left( { = \angle KBN} \right).\)
Xét \(\Delta ANB\) ta có: \(\angle ANB + \angle NAB + NBA = {180^0}\) (Tổng 3 góc trong một tam giác)
Lại có: \(\angle NIH = \angle NAB\,\,\left( {cm\,\,2} \right) = \angle NIE\) ; \(\angle NIK = \angle NAB\,\,\,\left( {cmt} \right) = \angle NIF;\,\,\angle ANB = \angle ENF.\)
\( \Rightarrow \angle ENF + \angle EIN + \angle NIF = \angle ENF + \angle EIF = {180^0}\)
Mà \(\angle ENF,\,\,\angle EIF\) là hai góc đối diện \( \Rightarrow \) Tứ giác \(NEIF\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)
4) Giả sử \(O,\,\,N,\,\,M\)thẳng hàng. Chứng minh \(N{A^2} + N{B^2} = 2{R^2}.\)
Theo đề bài ta có: \(O,\,\,N,\,\,M\) thẳng hàng \( \Rightarrow ON = R = \frac{1}{2}OM \Rightarrow N\) là trung điểm của \(OM.\)
Ta có: \(ON \bot AB = \left\{ I \right\} \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AB\) (mối quan hệ giữa đường kính và dây cung).
Lại có: \(OA = OB = R \Rightarrow ON\) là đường trung trực của \(AB \Rightarrow NA = NB.\)
Xét \(\Delta MAO\) ta có: \(\cos \angle AOM = \frac{{OA}}{{OM}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \angle AOM = {60^0} = \angle AON.\)
Xét \(\Delta AON\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA = ON = R\\\angle AON = {60^0}\,\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \Delta AON\) là tam giác đều.
\(\begin{array}{l} \Rightarrow NA = ON = OA = R = NB.\\ \Rightarrow N{A^2} + N{B^2} = {R^2} + {R^2} = 2{R^2}\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
