Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (T) tâm O, bán kính R; CAD = 45^0, AC
Câu hỏi
Nhận biếtTứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (T) tâm O, bán kính R; \(\widehat {CAD} = {45^0}\), AC vuông góc với BD và cắt BD tại I, AD > BC. Dựng CK vuông góc với AD \(\left( {K \in AD} \right)\), CK cắt BD tại H và cắt (T) tại E .
a) Tính số đo góc \(\widehat {COD}\). Chứng minh các điểm C, I, K, D cùng thuộc một đường tròn và AC = BD.
b) Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHE. Tính IK theo R.
c) IK cắt AB tại F. Chứng minh O là trực tâm tam giác AIK và CK. CB = CF. CD
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Ta có góc COD = 2.góc CAD (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung CD)
⇒ góc COD = 2.45o = 90o
Vì AC ⊥ BD (gt) nên góc CID = 90o;
Vì CK ⊥ AD (gt) nên góc CKD = 90o
\( \Rightarrow \widehat {CID} = \widehat {CKD} = {90^0}\).
\( \Rightarrow \) Tứ giác CIKD có 2 đỉnh I và K cùng nhìn cạnh CD dưới góc 90o nên nó là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính CD.
Vì AC ⊥ BD (gt) nên tam giác AID vuông ở I, có góc IAD = góc CAD = 45o nên ∆ AID vuông cân tại I ⇒ IA = ID (1)
Ta có góc CBD = góc CAD = 45o (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CD)
Tam giác CIB vuông tại I có góc CBI = góc CBD = 45o nên ∆ CIB vuông cân tại I
⇒ IB = IC (2)
Từ (1) và (2) ⇒ IA + IC = IB + ID
⇒ AC = BD (vì I thuộc đoạn AC và I thuộc đoạn BD)
b) + Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ BHE
∆ ACK vuông tại K ⇒ góc ICH = góc ACK = 90o – góc CAK = 90o – 45o = 45o
Tam giác CIH vuông tại I có góc ICH = 45o (cmt) nên nó vuông cân tại I ⇒ IC = IH (3)
Từ (2) và (3) ⇒ IB = IH ⇒ I là trung điểm BH, mà \(AI \bot BH\,\,\left( {AC \bot BD} \right)\)
⇒ AI là trung trực BH (4)
∆ CIH vuông cân tại I ⇒ góc DHE = góc IHC (đối đỉnh) = 45o
Mặt khác góc HED = góc CAD = 45o (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CD)
⇒ góc DHE = góc HED = 450 ⇒ ∆ HDE vuông cân ở D.
Mà DK là đường cao hạ từ đỉnh D của ∆ HDE ⇒ DK cũng là trung trực của HE
⇒ AK là trung trực của HE (5)
Từ (4) và (5) ⇒ A là giao điểm của trung trực BH và trung trực HE
⇒ A là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ BHE
+ Tính IK theo R
Ta có IK là đường trung bình của ∆ BHE nên \(IK = \dfrac{{BE}}{2}\)
Ta có góc BCH = góc BCI + góc ICH = 45o + 45o = 90o (do ∆ BCI và ∆ CIH vuông cân)
⇒ góc BOE = 2.góc BCE = 2.90o = 180o (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung BE của (T))
⇒ B, O, E thẳng hàng và BE là đường kính của (T) ⇒ BE = 2R
\(IK = \dfrac{{BE}}{2} = R\)
c) + Chứng minh O là trực tâm ∆ AIK
Vì IA = ID, OA = OD = R nên OI là trung trực của AD ⇒ OI ⊥ AD
⇒ OI ⊥ AK (6)
Tam giác CAK vuông ở K có góc CAK = 45o nên ∆ CAK vuông cân tại K
⇒ KC = KA. Mặt khác OC = OA = R ⇒ OK là trung trực của AC
⇒ OK ⊥ IA (7)
Từ (6) và (7) ⇒ O là giao điểm của 2 đường cao hạ từ I và K của ∆ AIK
⇒ O là trực tâm ∆ AIK
+ Chứng minh CK.CB = CF.CD
Ta có góc BAC = góc BEC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BC của (T))
Vì IK // BE (tính chất đường trung bình) ⇒ góc BEC = góc FKC (đồng vị)
⇒ góc BAC = góc FKC
Tứ giác AFCK có 2 đỉnh A và K cùng nhìn FC dưới một góc bằng nhau nên AFCK là tứ giác nội tiếp ⇒ góc CFB = 180o – góc CKA = 90o (2 góc đối diện của tứ giác nội tiếp)
⇒ góc CFB = góc CKD = 900 (8)
Vì ABCD là tứ giác nội tiếp nên góc FBC = góc CDK (cùng bù với góc ABC) (9)
Từ (8) và (9) \( \Rightarrow \Delta FBC \backsim \Delta KDC{\rm{ }}\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{CF}}{{CK}} = \dfrac{{CB}}{{CD}} \Rightarrow CK.CB = CF.CD\,\,\left( {dpcm} \right)\)
