Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol ( P ): y=x^2 và đường thẳng d
Câu hỏi
Nhận biếtTrong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol \( \left( P \right): \ \ y={{x}^{2}} \) và đường thẳng \(d: \ \ y=2mx+2m+8 \) với m là tham số.
a) Tìm tọa độ giao điểm của d và P với \(m=-4. \)
b) Chứng minh rằng d luôn cắt P tại 2 điểm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}. \) Tìm m để \({{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=2. \)
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Khi \(m=-4\) thì ta có : \(\left( d \right):\ y=-8x\)
Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là : \({{x}^{2}}=-8x\Leftrightarrow {{x}^{2}}+8x=0\Leftrightarrow x\left( x+8 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0\Rightarrow y=0. \\ & x=-8\Rightarrow y=64. \\ \end{align} \right.\)
Vậy với \(m=-4\) thì \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(\left( 0;\ 0 \right),\ \ \left( -8;\ 64 \right).\)
b) Ta có phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là :
\(\begin{align} & {{x}^{2}}=2mx+2m+8\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx-2m-8=0\ \ \ \ \left( * \right) \\ & \Delta '={{m}^{2}}+2m+8={{(m+1)}^{2}}+7>0\ \ \forall m \\ \end{align}\)
\(\Rightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt với mọi m hay \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt với mọi m.
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có : \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( 1 \right) \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-2m-8\ \ \ \ \ \ \left( 2 \right) \\ \end{align} \right..\)
Theo đề bài ta có : \({{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=2\Rightarrow {{x}_{1}}=2-2{{x}_{2}}.\)
\(\begin{align} & \Rightarrow \left( 1 \right)\Leftrightarrow 2-2{{x}_{2}}+{{x}_{2}}=2m \\ & \Leftrightarrow {{x}_{2}}=2-2m \\ & \Rightarrow {{x}_{1}}=2-2{{x}_{2}}=2-2\left( 2-2m \right)=-2+4m. \\ & \Rightarrow \left( 2 \right)\Leftrightarrow \left( 2-2m \right)\left( -2+4m \right)=-2m-8 \\ & \Leftrightarrow -4+8m+4m-8{{m}^{2}}=-2m-8 \\ & \Leftrightarrow 8{{m}^{2}}-14m-4=0 \\ & \Leftrightarrow \left( 4m+1 \right)\left( m-2 \right)=0 \\ \end{align}\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 4m+1=0 \\ & m-2=0 \\\end{align} \right..\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=-\frac{1}{4} \\ & m=2 \\\end{align} \right..\)
Vậy \(m=-\frac{1}{4}\) và \(m=2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán
Chọn D
