Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(2;4) và B(1;1). Tìm độ điểm C sao cho tam giác ABC vuông c
Câu hỏi
Nhận biếtTrong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(2;4) và B(1;1). Tìm độ điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại B.
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Tam giác ABC vuông cân tại B \( \Rightarrow \left\{ \matrix{ BA \bot BC \hfill \cr BA = BC \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr {\left| {\overrightarrow {BA} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {BC} } \right|^2} \hfill \cr} \right.\)
Gọi tọa độ C(a; b) ta có: \(\overrightarrow {BA} = \left( {2 - 1;4 - 1} \right) = \left( {1;3} \right)\,;\,\overrightarrow {BC} = \left( {a - 1;b - 1} \right).\)
\( \Rightarrow \left\{ \matrix{ \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 1.\left( {a - 1} \right) + 3.\left( {b - 1} \right) = 0 \hfill \cr {1^2} + {3^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a + 3b = 4 \hfill \cr {(a - 1)^2} + {(b - 1)^2} = 10 \hfill \cr} \right.\)
Thay a = 4 – 3b vào phương trình dưới ta được \(\eqalign{ & {\left( {4 - 3b - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 10 \Leftrightarrow {\left( {3 - 3b} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 10 \cr & \Leftrightarrow 9{\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 10 \Leftrightarrow {\left( {b - 1} \right)^2} = 1 \cr} \)
Giải ra ta được hoặc b = 0 hoặc b = 2.
Với b = 2 Þ a = – 2 \( \Rightarrow C\left( { - 2;2} \right).\)
Với b = 0 \( \Rightarrow a = 4 \Rightarrow C\left( {4;0} \right)\).
Chọn D.