Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho đường thẳng \(\left( d \right):y = 2x - 4\).
1) Xác định tọa độ các giao điểm \(A,\,\,B\) của \(\left( d \right)\) với hai trục \(Ox,\,\,Oy.\) Vẽ \(\left( d \right)\) trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
2) Tính chu vi và diện tích tam giác \(OAB\).
3) Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right):y = \left( {{m^2} - 2} \right)x + 2m - 2{m^2}\) song song với \(\left( d \right)\).
Giải chi tiết:
Cho đường thẳng \(\left( d \right):y = 2x - 4\).
1) Xác định tọa độ các giao điểm A, B của \(\left( d \right)\) với hai trục Ox, Oy. Vẽ \(\left( d \right)\) trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
+) Giao điểm \(A\) của đường thẳng \(\left( d \right)\) với trục \(Ox\) là: \({y_A} = 0 \Rightarrow 2{x_A} - 4 = 0\, \Rightarrow {x_A} = 2\, \Rightarrow A\left( {2;0} \right)\)
+) Giao điểm \(B\) của đường thẳng \(\left( d \right)\) với trục \(Oy\) là: \({x_B} = 0 \Rightarrow {y_B} = 2{x_B} - 4 = - 4\, \Rightarrow B\left( {0; - 4} \right)\)
+) Vẽ đường thẳng \(\left( d \right)\) trong mặt phẳng \(Oxy:\)
Ta có đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {2;0} \right);B\left( {0; - 4} \right)\) nên đường thẳng \(\left( d \right)\) chính là đường thẳng \(AB.\)
Ta có hình vẽ:
2) Tính chu vi và diện tích tam giác \(OAB\).
Từ hình vẽ ta thấy \(\Delta OAB\) vuông tại \(O,\,\,OA = 2,\,\,OB = 4\) (đvđd)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\) ta có:
\(AB = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}} = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \,\) (đvđd)
Chu vi \(\Delta OAB\) là: \({C_{AOB}} = OA + OB + AB = 2 + 4 + 2\sqrt 5 = 6 + 2\sqrt 5 \,\)(đvđd)
Diện tích \(\Delta OAB\):\({S_{OAB}} = \frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2}.2.4 = 4\) (đvdt)
Vậy chu vi và diện tích tam giác \(OAB\) lần lượt là \(6 + 2\sqrt 5 \) (đvđd) và \(4\)(đvdt).
3) Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right):y = \left( {{m^2} - 2} \right)x + 2m - 2{m^2}\) song song với \(\left( d \right)\).
Để đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right):y = \left( {{m^2} - 2} \right)x + 2m - 2{m^2}\) song song với \(\left( d \right)\) thì:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2 = 2\\2m - 2{m^2} \ne - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} = 4\\2{m^2} - 2m - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} = 4\\{m^2} - m - 2 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 2\end{array} \right.\\\left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 2\end{array} \right.\\m \ne 2\\m \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 2\end{array}\)
Vậy \(m = - 2\) thì thỏa mãn yêu cầu.